Come risolvere equazioni differenziali a coefficienti costanti

Tramite: O2O 15/12/2017
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Un'equazione differenziale a coefficienti costanti è un'equazione del tipo:

ay'' + by' + cy = f (t).
Se f (t) = 0 l'equazione è detta omogenea, altrimenti è detta completa.
Grazie al principio di sovrapposizione, l'integrale generale di un'equazione completa si ottiene sommando all'integrale generale dell'equazione omogenea associata, una soluzione y*(t) dell'equazione completa.

Adesso ti spiegherò come risolvere equazioni differenziali a coefficienti costanti sia omogenee che complete. Il metodo non è particolarmente difficile, ma è un po' laborioso, ed essendoci diverse soluzioni, c'è un po' di roba da imparare a memoria.

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Equazioni differenziali omogenee

Per scrivere l'integrale generale di un'equazione di questo tipo bisogna calcolare le radici del polinomio caratteristico, ossia del polinomio a?^2 +b? + c = 0. Questo è, in realtà, solo un passaggio formale per dirvi che bisogna trattare l'equazione differenziale come se fosse un'equazione normale. L'ordine, quindi, diventa il grado del monomio, e l'equazione diventa una semplice equazione di secondo grado. Le radici del polinomio si ottengono calcolando gli autovalori, oppure semplicemente con la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.

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Discriminante e tipi di soluzione

A seconda del valore del discriminante ? = b^2 -4ac, si hanno tre casi:
? > 0, il polinomio ha due soluzioni reali distinte ?1 e ?2 e l'integrale generale dell'equazione è:
y (t) = He^?1t + Ke^?2t;
? = 0, il polinomio ha una sola soluzione ?, l'integrale generale allora è:
y (t) = He^?t + Ke^?t;
? y (t) = He^(at) cos (bt) + Ke^(at) sin (bt);.

Continua la lettura
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Equazioni differenziali complete - Metodo di somiglianza

Passiamo ora alla risoluzione di equazioni complete usando il metodo di somiglianza. Innanzitutto bisogna risolvere l'omogenea associata, ossia far finta che il termine noto non esista e procedere come visto ai passi 1 e 2. La soluzione trovata è parte della soluzione completa (principio di sovrapposizione). Il metodo di somiglianza prevede di cercare una soluzione y*(t) "simile" al termine noto f (t). Esso è utilizzabile nel caso in cui f (t) abbia una delle seguenti forme:
1) è un polinomio di di grado n (f (t) = at^n + ... + bt + c);2) è una funzione esponenziale (f (t) = ae^(bt));3) è una sinusoide o una cosinusoide (f (t) = asin (bt), f (t) = acos (bt));4) è somma di alcune delle precedenti.
Nel caso 1) la soluzione che stiamo cercando, y*(t), è un polinomio dello stesso grado di f:
y*(t) = Ant^n + ... + A1t + A0
Se una radice dell'omogenea è = 0 allora diventa:
y*(t) = t (Ant^n + ... + A1t + A0)
Se entrambe le radici dell'omogena sono = 0 allora:
y*(t) = t^2(Ant^n + ... + A1t + A0)

Nel caso 2) la soluzione y*(t) è una funzione esponenziale con lo stesso esponente:
y*(t) = Ae^(bt)
Se b è una radice semplice del polinomio caratteristico allora:
y*(t) = Ate^(bt)
Se b è radice doppia invece:
y*(t) = At^2e^(bt)

Nel caso 3) y*(t) è una somma di una sinusoide e una cosinusoide:
y*(t) = A1cos (bt) + A2sin (bt)
Se però ±ib sono entrambe radici del polinomio caratteristico allora:
y*(t) = t (A1cos (bt) + A2sin (bt))

Nel caso 4) y*(t) è somma delle corrispondenti y*.
Ma non abbiamo ancora finito! Bisogna infatti trovare i coefficienti Ai. Ma tranquillo, non è difficile. Basta infatti prendere la y*(t) trovata, derivarla due volte, sostituire la funzione, la derivata prima e la derivata seconda nell'equazione differenziale ed infine trovare i valori degli Ai che verificano l'identità.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Sembra un procedimento complesso, ma sono solo formule e calcoli :)
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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