Come risolvere disequazioni trigonometriche

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Le disequazioni nelle quali l’angolo incognito è espresso tramite funzioni goniometriche (ovvero seno, tangente, coseno, cotangente) vengono definite ''disequazioni trigonometriche''. Gli angoli vengono espressi sempre in radianti e per la risoluzione di queste operazioni matematiche si possono utilizzare a seconda dei casi, le formule di bisezione e duplicazione. Altri metodi sono per esempio le formule parametriche di seno e coseno. Vedremo come analizzare e ridurre una disequazione alla sua forma elementare per poi risolverla.

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Le forme elementari vengono espresse in questa maniera: sen x > c, cos x > c, tan x > c dove “c” è un valore numerico. Questo ha dei limiti se si tratta di funzioni in seno e coseno in quanto sono funzioni limitate per valori che vanno da -1 a +1.
Adottando il metodo del grafico, si rappresenta la circonferenza goniometrica (che ha raggio unitario e il centro coincide con l’origine degli assi cartesiani). Proviamo ora con la risoluzione di una disequazione elementare.

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sen x > ½. “c” si trova sull’asse delle ordinate a metà del raggio della circonferenza goniometrica, poiché la funzione richiesta è quello del seno. Adesso si traccia una parallela all’asse “x”. La circonferenza risulterà divisa in valori maggiori e minori di ½. Questi sono indicati nelle tabelle goniometriche ma appartengono agli angoli 30° e 150°. La soluzione è la porzione maggiore di circonferenza: sarà presa quindi nell’arco “superiore”.
Avremo la soluzione seguente: 30° < x < 150°. Vanno considerate tutte le soluzioni che differiscono di un giro completo e la soluzione finale sarà quindi scritta in questa maniera: 30° + k 360°< x <150° + k 360° (k è un numero naturale compreso tra 0 ed infinito). L'iter è valido sia per la funzione coseno che per la tangente, quindi per il coseno si “invertono” gli assi rispetto a quanto fatto con il seno.

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Ad esempio cos x > ½, il valore ½ va identificato sull’asse delle ascisse e la retta che poi si traccerà dovrà essere parallela all’asse delle ordinate. Per quanto riguarda la tangente si dovrà considerare solo una semicirconferenza (da 0° a 180°) essendo una funzione periodica con periodo 180° (o π)
Il valore poi sarà dentificato su di una retta verticale condotta dall'origine all'asse x. Quindi, prendendo l'esempio tan x > 1, la soluzione sarà la seguente: 45° < x < 90°. La tangente di 1 è pari a 45° e la parte di circonferenza da considerare è solamente quella che va da 45° (π/4) a 90°(π/2). La parte a sinistra di 90° (π/2) individua infatti valori della funzione tangente da meno infinito a 0.

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Esiste anche un metodo di risoluzione algebrico applicabile. La disequazione va scritta sotto forma di equazione e la si risolve. Quindi prendendo l'esempio: sen x > ½ verrà riscritta come sen x = ½ e le soluzioni saranno 30° e 150°. È possibile applicare i due metodi illustrati anche a disequazioni più complesse cercando di ricondurle quanto più possibile alle forme elementari.

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