Come ridurre una quadrica in forma canonica

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Una quadrica, nel linguaggio " geometrico", è la superficie di uno spazio dimensionale rappresentato da un'equazione polinomiale nelle coordinate spaziali, ed è rappresentata da un’equazione di secondo grado in coordinate cartesiane nello spazio. Sono quadriche, per esempio, gli ellissoidi, i paraboloidi, gli iperboloidi (a una o a due falde), e, solo in alcuni casi specifici, le sfere. Questa distinzione si fa perché se il piano tangente taglia la quadrica in due rette differenti, oppure che coincidono, questo fa si che differisca la loro definizione. Una quadrica ha tutti i punti uguali tra di loro, sia che siano parabolici, iperbolici oppure elittici, secondo il segno del determinante, e può essere normalizzata attraverso traslazioni. In questa guida vi spiegherò come ridurre una quadrica in forma canonica. Questo procedimento, a prima vista può sembrare complesso, ma basta un po' di attenzione per eseguire la procedura alla perfezione .

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Per iniziare, è doveroso dire che una quadrica viene sempre lavorata come se fosse una forma quadratica, con la sola differenza che il problema, in questo caso, presenta tre dimensioni invece di due. Quindi, come conseguenza, avremo il risultato di ottenere che le matrici associate alle quadriche abbiano come dimensione 3x3 e 4x4. Quello che dobbiamo fare adesso, è determinare le due matrici A, che sono quelle con le dimensioni inferiori, e cioè 3x3, come abbiamo detto prima, mentre invece le due matrici B sono quelle con una misura superiore, appunto 4x4.

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Ricordatevi sempre che nello spazio proiettivo reale, troviamo tre classi di equivalenza di quadriche e che quelle con curvatura gaussiana pari a zero, per esempio le quadriche degeneri, sono sempre equivalenti tra di loro, così come lo sono le superfici rigate, se abbiamo due paraboloidi iperbolici.

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Adesso dobbiamo calcolare il il determinante della matrice B. Se otteniamo zero come risultato, questo significa che la quadrica è degenere. Se invece il risultato ottenuto è diverso, allora la nostra quadrica è ellissoide, paraboloide, iperboloide, invece di un cono o di un cilindro. Adesso dobbiamo diagonalizzare la matrice A (possono bastare anche solo i suoi autovalori). Una volta che li abbiamo trovati, abbiamo ottenuto il risultato che ci eravamo imposti, dato che essi sono appunto legati proprio ai coefficienti della quadrica posta in forma canonica. Si possono anche sostituire gli autovalori della matrice della forma quadratica come coefficienti dei termini di secondo grado.

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