Come riconoscere quadrati perfetti

Tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La matematica, e ovviamente le sue derivate come la geometria analitica e l'analisi, è una materia scolastica fondamentale in ogni scuola ed indirizzo, sin dalle elementari fino alle superiori ed all’università, soprattutto in quest'ultima. A causa della complessità della materia, se non capita a fondo, oppure non spiegata correttamente, essa diventa molto difficile sia da interpretare che da eseguire. Capita infatti che molti studenti, troppi studenti, non la amino proprio perché non riescono a comprenderla a pieno. In riferimento a quanto detto prima, di conseguenza trovano incredibili difficoltà nell'affrontare i problemi pieni di calcoli, nell'applicare correttamente le formule e le operazioni che ovviamente ne conseguono che sono ad esse connesse. Ad uno sguardo lucido però, è possibile notare come in matematica nulla è difficile come scegliere il corretto approccio al suo studio. Se una persona riesce ad impegnarsi in ciò che fa, riuscirà sicuramente ad ottenere ottimi risultati, e la matematica non fa eccezione. In questo caso l'esercizio dopo la teoria è essenziale per raggiungere lo scopo. Un esempio applicativo della matematica è il saper riconoscere un quadrato perfetto, cioè un numero intero che può anche essere espresso come il quadrato di un altro numero intero. Questa è una problematica reale che si incontra nella quotidianità ed è alla portata di chiunque. Basta solo saper applicare qualche semplice regola e ovviamente conoscere le basi più elementari della matematica, che verranno qui di seguito esplicate. Nella seguente guida vedremo quindi come riconoscere i quadrati perfetti.

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Occorrente

  • Carta
  • Essere riflessivi
  • Penna
  • Calcolatrice
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La tipologia di numero primo

Prima di passare ad esplicare come individuare un quadrato perfetto, è bene far notare alcune peculiarità di questi numeri. Per prima cosa osserviamo che un quadrato perfetto termina sempre e solo con alcuni numeri particolari, ma tuttavia ovviamente non vale il viceversa (cioè i numeri che terminano con questi elementi non sono necessariamente quadrati perfetti). I numeri in questione sono 1, 4, 5, 6 e 9. Un caso particolare lo si ha se i numeri terminano con gli zeri. In questo caso infatti conta quanti 0 ci siano nel numero, perché affinché si abbia un quadrato perfetto essi devono essere necessariamente pari, cioè due, quattro, sei, otto, ecc. Per individuare che numeri primi compongono un numero basta un semplice procedimento basato sulla scomposizione della cifra in fattori primi. Scomporre un numero in fattori primi significa trovare tutti i numeri primi, i quali moltiplicati fra di loro forniscono come prodotto il numero di partenza. I numeri primi posseggono la caratteristica che sono quella tipologia di numeri che risultano essere divisibili solamente per uno e per se stessi.

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Scomposizione in numeri primi

Qui di seguito verrà illustrata come avviene la scomposizione in numeri primi in maniera molto elementare. Si rappresentano su di un foglio due colonne. Nella colonna di sinistra si pone il numero di partenza, il quale di volta in volta sarà diviso per un numero primo. Nella colonna di destra invece si segnano tutti i numeri primi per cui il numero di partenza risulta via via divisibile. Ad esempio il numero 9801 è divisibile quattro volte per 3, e due per il numero 11. Una volta che sono stati trovati tutti i fattori primi del numero di partenza, lo si può riscrivere utilizzando una combinazione di potenze. Il numero precedente può quindi essere scritto nel seguente modo: 9801 = 3^4 x 11^2. È ora necessario utilizzare una proprietà delle potenze per riscrivere l’espressione appena trovata con il medesimo esponente. La proprietà è quella che afferma quanto segue: “la potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti”.

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Proprietà della potenza

Grazie alla proprità sopra descritta, è possibile riscrivere l’espressione come segue: 9801 = (3^2 x 11)^2 = (9 x 11)^2. Svolgendo il calcolo si può quindi riscrivere l'espressione come: 9801 = 99^2. Si può dunque affermare con certezza che il numero 9801 è il quadrato di 99. Abbiamo quindi individuato un quadrato perfetto. Questo esempio banale, e riproducibile, dimostra come un quadrato perfetto è tale solo se tutti gli esponenti dei suoi fattori primi sono pari. Il processo può essere ulteriormente semplificato se si utilizzano delle tabelle con tutte le potenze dei numeri.

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