Come riconoscere quadrati perfetti

La matematica è una materia fondamentale in ogni scuola ed indirizzo, sin dalle elementari fino alle superiori ed all’università. Purtroppo molti studenti, troppi studenti, non la amano. Di conseguenza trovano spropositate difficoltà dell'affrontarne i problemi tipici, le formule e le operazioni ad esse connesse. In matematica nulla è difficile se non l'approccio al suo studio. Infatti non tutto è così difficile come può apparire in un primo momento. Con un po' di impegno i risultati arrivano sempre. Ad esempio, riconoscere un quadrato perfetto, cioè un numero intero che può anche essere espresso come il quadrato di un altro numero intero, è una problematica alla portata di chiunque. Basta solo saper applicare qualche semplice regola e conoscere le basi più elementari della matematica. Nella seguente guida vediamo come riconoscere i quadrati perfetti.

• Carta e penna;
• Essere riflessivi.

Per prima cosa osserviamo che un quadrato perfetto possiede la caratteristica di terminare sempre e solo con alcuni particolari numeri. I numeri in questione sono uno, oppure quattro, cinque, sei, nove oppure con degli zeri. Gli zeri devono però essere pari, cioè due, quattro, sei, otto, ecc. Tuttavia bisogna osservare che non tutti i numeri che finiscono con queste cifre sono dei quadrati perfetti. Un semplice procedimento per capire ciò, è banalmente basato sulla scomposizione della cifra in fattori primi. Scomporre un numero in fattori primi significa trovare tutti i numeri primi, i quali moltiplicati fra di loro forniscono come prodotto il numero di partenza. I numeri primi sono quei numeri che risultano essere divisibili solamente per uno e per se stessi.

La scomposizione in fattori primi è un procedimento molto semplice. Si rappresentano su di un foglio due colonne. Nella colonna di sinistra si pone il numero di partenza, il quale di volta in volta sarà diviso per un numero primo. Nella colonna di destra invece si segnano tutti i numeri primi per cui il numero di partenza risulta via via divisibile. Ad esempio il numero 9801 è divisibile quattro volte per 3, e due per il numero 11. Una volta che siano stati trovati tutti i fattori primi del numero di partenza, lo si può riscrivere utilizzando le potenze. Il numero precedente può quindi essere scritto nel seguente modo: 9801 = 3^4 x 11^2. È ora necessario utilizzare una proprietà delle potenze per riscrivere l’espressione appena trovata con il medesimo esponente. La proprietà è quella che afferma quanto segue: “la potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti”.

In questo modo è possibile riscrivere l’espressione così: 9801 = (3^2 x 11)^2 = (9 x 11)^2. Svolgendo il calcolo si può quindi riscrivere l'espressione come: 9801 = 99^2. Si può dunque affermare con certezza che il numero 9801 è il quadrato di 99. Si tratta in definitiva di un quadrato perfetto. Questo semplice esempio dimostra come un quadrato perfetto è tale solo se tutti gli esponenti dei suoi fattori primi sono pari. In questo modo è possibile individuarli facilmente. Il procedimento può essere ulteriormente velocizzato consultando una tabella delle potenze, in cui si trovano molti numeri già elevati al quadrato.

• Imparate a scomporre rapidamente in fattori primi un numero qualsiasi.

• Approfondimento sul quadrato.