Come ricavare un'equazione di secondo grado essendo note le due radici

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tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

Un'equazione di secondo grado, definita anche equazione quadratica, è un'uguaglianza algebrica in cui è presente una sola incognita, il cui grado massimo è pari a 2. La forma tipica di un'equazione di secondo grado è: ax^2 + bx + c = 0, in cui il coefficiente a deve essere necessariamente diverso da zero, altrimenti l'equazione diventerebbe di primo grado. Risolvere una equazione significa calcolare i valori per i quali essa è verificata. Il teorema fondamentale dell'algebra stabilisce che nel campo complesso un'equazione di secondo grado ammette sempre 2 soluzioni, eventualmente coincidenti. Nel campo reale, invece, le equazioni di secondo grado possono ammettere due soluzioni, anche coincidenti, oppure possono non ammettere soluzione. Nella seguente guida, passo dopo passo, ci occuperemo di effettuare l'operazione inversa alla determinazione delle radici dell'equazione. Essendo note le due radici, vedremo come ricavare l'equazione di secondo grado. Ecco dunque come procedere.

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Ipotizzate di conoscere le soluzioni di un'equazione di secondo grado. L'obiettivo è quello di ricavare l'equazione algebrica di secondo grado che ammette come soluzioni quelle già note. Supponete che la prima radice, definita x1 sia uguale a 3 e la seconda radice, definita x2 sia uguale a 4. Procedete considerando un'equazione generica del tipo ax^2 + bx + c = 0. Sommate, adesso, le due soluzioni, utilizzando le formule note per la risoluzione delle equazioni di secondo grado: x1 + x2 = [ -b - Sqrt (b^2-4ac) ] / 2a + [ -b + Sqrt (b^2 - 4ac) / 2a ]. Risolvendo con le semplici regole di base otterrete che: (- 2b) / 2b = -b / a.

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Quindi, x1 + x2 = - b / a. Considerate, adesso, il prodotto delle due radici della precedente equazione generica: [ - b - Sqrt (b^2 - 4ac)] /2a per [ -b + Sqrt b^2 - 4ac) ] / 2a. Svolgendo semplici passaggi algebrici ricaverete la soluzione che sarà pari a x1 * x2 = c / a. Secondo le regole fondamentali, è possibile scrivere un'equazione di secondo grado nella forma: x^2 - sx + p = 0.

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Nell'equazione ricavata, s rappresenta la somma delle sue radici: s = x1 + x2, mentre p equivale al prodotto delle stesse: p = x1 * x2. Nel nostro caso specifico s = 3 + 4, ossia s = 7 e p = 3 * 4 = 12. Sostituendo questi valori nell'equazione generica somma/prodotto di radici x^2 - sx + p = 0 otterrete x^2 - 7x + 12 = 0. Avete ricavato, in modo molto semplice e con pochi passaggi, l'equazione di secondo grado, note le sue radici. Per verificare che non abbiate commesso errori, provate a ricavare le radici e otterrete x1 = 3 e x2 = 4. CVD.

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