Come ricavare un'equazione di secondo grado essendo note le due radici

Tramite: O2O 08/10/2018
Difficoltà: facile
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Introduzione

Un'equazione di secondo grado, definita anche equazione quadratica, è un'uguaglianza algebrica in cui è presente una sola incognita, il cui grado massimo è pari a 2. La forma tipica di un'equazione di secondo grado è: ax^2 + bx + c = 0, in cui il coefficiente a deve essere necessariamente diverso da zero, altrimenti l'equazione diventerebbe di primo grado. Risolvere una equazione significa calcolare i valori per i quali essa è verificata. Il teorema fondamentale dell'algebra stabilisce che nel campo complesso un'equazione di secondo grado ammette sempre 2 soluzioni, eventualmente coincidenti. Nel campo reale, invece, le equazioni di secondo grado possono ammettere due soluzioni, anche coincidenti, oppure possono non ammettere soluzione. Nella seguente guida, passo dopo passo, ci occuperemo di effettuare l'operazione inversa alla determinazione delle radici dell'equazione. Essendo note le due radici, vedremo come ricavare l'equazione di secondo grado. Ecco dunque come procedere.

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Occorrente

  • Fogli a quadretti
  • Calcolatrice scientifica
  • Penna o matita
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Calcolare la prima radice

Le radici sono anche chiamate x -interce o zeri. Una funzione quadratica è rappresentata graficamente da una parabola con vertice localizzata all'origine, sotto l' asse x , o sopra l' asse x . Pertanto, una funzione quadratica può avere radici uno, due o zero.
Quando ci viene chiesto di risolvere un'equazione quadratica, ci viene davvero chiesto di trovare le radici. Completare il quadrato è un metodo utile per risolvere equazioni di secondo grado. Questo metodo può essere usato per derivare la formula quadratica, che è usata per risolvere equazioni quadratiche. In realtà, le radici della funzione: f ( x ) = ax 2 + bx + c sono dati dalla formula quadratica. Le radici di una funzione sono le x- intere. Per definizione, lo y- coordinato di punti che giace sull'asse x è zero. Pertanto, per trovare le radici di una funzione quadratica, impostate f ( x ) = 0 e risolvete l'equazione: ax 2 + bx + c = 0. Ipotizzate di conoscere le soluzioni di un'equazione di secondo grado. L'obiettivo è quello di ricavare l'equazione algebrica di secondo grado che ammette come soluzioni quelle già note. Supponete che la prima radice, definita x1 sia uguale a 3 e la seconda radice, definita x2 sia uguale a 4.

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Calcolare un'equazione generica

Procedete considerando un'equazione generica del tipo ax^2 + bx + c = 0. Sommate, adesso, le due soluzioni, utilizzando le formule note per la risoluzione delle equazioni di secondo grado: x1 + x2 = [ -b - Sqrt (b^2-4ac) ] / 2a + [ -b + Sqrt (b^2 - 4ac) / 2a ]. Risolvendo con le semplici regole di base otterrete che: (- 2b) / 2b = -b / a.Quindi, x1 + x2 = - b / a. Considerate, adesso, il prodotto delle due radici della precedente equazione generica: [ - b - Sqrt (b^2 - 4ac)] /2a per [ -b + Sqrt b^2 - 4ac) ] / 2a. Svolgendo semplici passaggi algebrici ricaverete la soluzione che sarà pari a x1 * x2 = c / a. Secondo le regole fondamentali, è possibile scrivere un'equazione di secondo grado nella forma: x^2 - sx + p = 0.

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Ricavare l'equazione di secondo grado

Nell'equazione ricavata, s rappresenta la somma delle sue radici: s = x1 + x2, mentre p equivale al prodotto delle stesse: p = x1 * x2. In questo caso specifico s = 3 + 4, ossia s = 7 e p = 3 * 4 = 12. Sostituendo questi valori nell'equazione generica somma/prodotto di radici x^2 - sx + p = 0 otterrete x^2 - 7x + 12 = 0. Avete ricavato, in modo molto semplice e con pochi passaggi, l'equazione di secondo grado, note le sue radici. Per verificare che non abbiate commesso errori, provate a ricavare le radici e otterrete x1 = 3 e x2 = 4. CVD. Se il discriminante di una funzione quadratica è inferiore a zero, quella funzione non ha radici reali e la parabola che rappresenta non interseca l' asse x . Poiché la formula quadratica richiede di prendere la radice quadrata del discriminante, un discriminante negativo crea un problema perché la radice quadrata di un numero negativo non è definita sulla linea reale. Un esempio di una funzione quadratica senza radici reali è data daf ( x ) = x 2 - 3 x + 4.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Se il discriminante di una funzione quadratica è uguale a zero, quella funzione ha esattamente una radice reale e attraversa l' asse x in un singolo punto.
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