Come ricavare una funzione logica da una tabella della verità

La tabella della verità o tabella logica serve a determinare se una proposizione è vera o falsa. Essa è usata in matematica ed abbiamo 2 metodi che permettono di scrivere la funzione logica che rappresentano: la "Prima Forma Canonica" e la "Seconda Forma Canonica". Queste forme non sono le uniche, né le minime, ma a livello didattico e come primo approccio al problema vanno bene. Questa guida dà delle indicazioni su come ricavare una funzione logica da una tabella canonica. Vediamo quindi passo per passo la spiegazione, iniziando dalla base dell'algebra di Boole.

• Una tabella della verità
• Carta
• Penna

Per affrontare questo problema ci servono almeno le conoscenze di base dell'algebra di Boole e delle sue applicazioni in elettronica digitale. Una tabella della verità descrive per esempio il funzionamento logico di un circuito elettronico, avente da un lato tutte le possibili combinazioni delle variabili di ingresso, dall'altro le corrispondenti uscite. Si può usare anche un semplice rettangolo che rappresenta il sistema da analizzare, o più correttamente una espressione letterale della relazione ingresso-uscita che è svincolata dall'hardware così come la rappresentazione a simboli logici. La funzione logica da ricavare non è altro che l'espressione della tabella della verità da cui deriva, cioè il funzionamento relativo del circuito elettronico. Si tratta è una combinazione delle variabili di ingresso, legate tra loro da operazioni logiche dell'algebra di Boole che opportunamente inserite eguagliano il tutto all'uscita Y. Si deve però specificare che la tabella di verità fa riferimento ad una macchina senza memoria, cioè gli stati dipendono solo ed esclusivamente dalle condizioni ad un certo istante e non da quelle precedenti, e soprattutto una macchina causale, cioè in cui non esistono dipendenze degli stati da condizioni future. Dicendo che le 2 forme canoniche non sono quelle minime, significa che il circuito che si ricava non è quello in assoluto più semplice e ridotto. Infatti, in elettronica l'obiettivo è realizzare una funzionalità con un numero minimo di elementi circuitali.

Per la tabella della verità, con la prima forma canonica, dobbiamo scrivere termini, detti mintermini, che comprendono tutte le variabili delle funzioni in forma affermativa o negativa a cui corrisponde in uscita 1. Le variabili di tali combinazioni moltiplicate tra loro vanno prese come sono se valgono 1, complementari se valgono 0. Per somma, prodotto o complemento si fa riferimento alle operazioni logiche booleane; il complemento rappresenta l'operazione di negazione NOT per ripasso not(1)=0, not(0)=1, dove 0 e 1 sono i valori booleani. In questa espressione i singoli mintermini valgono 1 se la somma garantisce: che uno dei mintermini è 1, allora l'uscita è 1, se tutti i mintermini sono 0 allora l'uscita è 0.

La seconda forma canonica è equivalente e complementare alla prima. Infatti, scriviamo la funzione come somma di Maxtermini; tanti quante sono le combinazioni di ingresso della tabella che corrisponde in uscita 0. Le variabili di tali combinazioni moltiplicate tra loro le prendiamo così come sono se valgono 0, complementari se valgono 1. L'espressione così ottenuta rappresenta la tabella della verità. Le due forme sono "equivalenti" nel senso che restituiscono ambedue gli stessi risultati in funzione degli ingressi, e non ci sono motivazioni aprioristiche per preferire una all'altra. Solitamente, ma è solo una convenzione, si impiega la notazione a mintermini, perché poi conduce ad una sintesi logica hardware più semplice, ma non sempre.

Per poter realizzare una sintesi di rete logica si impiega uno strumento, la Mappa di Karnaugh, che funziona fino a 4 variabili. Per sistemi con più variabili la mappa diventa troppo complessa per essere utile. Vediamo come realizzarla. Si costruisce una matrice, dove si scrivono le uscite della rete in funzione dei valori delle variabili. Per esempio l'asse verticale rappresenta due variabili, quello orizzontale altre due. Si scrivono le loro combinazioni possibili, ottenendo una matrice 4x4. Nelle celle si scrive l'uscita in funzione delle coppie. Si colorano i rettangoli con dimensione potenza intera di 2 che contengono i valori 1 e si segnano le variabili che nei vari gruppi non cambiano valore. Con un procedimento di esclusione si ricavano quindi le somme ed i prodotti algebrici che descrivono il risultato e si scrive la funzione logica.

• Porte logiche e teoremi dell'algebra di Boole
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