Come ricavare una funzione dal grafico

Imparare come riconoscere una funzione soltanto dal grafico è un'impresa, soprattutto per chi non va molto d'accordo con la matematica. Non esiste un metodo sicuro per ricavare la soluzione, ma servono intuizione e colpo d'occhio. Come per tutti i problemi matematici, tuttavia, ci sono degli accorgimenti che possono aiutare nella maggior parte dei casi.

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Le funzioni periodiche sono le più semplici da riconoscere: se vediamo che il grafico è composto da forme che si ripetono con costanza, possiamo concludere che la soluzione sarà sicuramente tra queste. Ce ne sono di due tipi:1. Seni e coseni, dalla caratteristica forma ondulata. Per distinguerle basta controllare se passa per l'origine: in caso positivo, la funzione è un seno; in caso contrario, ci troviamo di fronte ad un coseno.2. Se la funzione, a intervalli costanti, attraversa dall'alto al basso il grafico, con le estremità che tendono all'infinito, abbiamo una tangente (invece, se scende verso meno infinito è una cotangente).

Anche le rette sono semplici da riconoscere, ma non è immediato capirne l'equazione solo dal grafico. Se la retta cresce, il coefficiente angolare è positivo, altrimenti è negativo. Un caso particolare di retta è la funzione costante: il suo grafico è parallelo all'asse delle ascisse. Il grafico di un polinomio si riconosce dai punti stazionari (minimi e massimi) e dai cambi di concavità (flessi): al crescere del loro numero cresce il grado del polinomio. Una parabola ha un massimo o un minimo (dipende dal segno della concavità) e la funzione che la rappresenta è un polinomio di secondo grado. Un polinomio di terzo grado ha un punto di flesso e, spesso, due punti stazionari locali (un minimo e un massimo).

Una funzione esponenziale non assume mai valore zero: se il grafico non attraversa l'asse delle ascisse (l'asse delle x), allora è un'esponenziale. In particolare, se la funzione è crescente, si può affermare che la base è maggiore di uno, mentre se è decrescente, la base è compresa tra uno e zero (estremi esclusi). Passa per l'asse delle ordinate nel punto (0,1). I logaritmi sono le funzioni inverse delle esponenziali, quindi il loro grafico è simmetrico a quello di un'esponenziale rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante (la retta y = x). Per riconoscerli, si osserva che il dominio è esteso a metà del piano (nella forma più semplice, il logaritmo esiste solo per i valori positivi). La base del logaritmo, come nel caso dell'esponenziale, è maggiore di uno se il logaritmo è crescente, compreso tra zero e uno se il grafico è decrescente. Il logaritmo passa per l'asse delle ascisse nel punto (1,0).

Le funzioni composte sono le più difficili da riconoscere. Alcuni casi particolari possono essere imparati a memoria, ma le varianti sono talmente numerose che l'unico modo per diventare bravi è esercitarsi molto e prendere confidenza con le trasformazioni. Un esempio significativo è una potenza con all'esponente una funzione (spesso un polinomio): si riconosce perché non attraversa mai lo zero, ma non è monotona. È utile, in questo caso, capire come si comporta l'esponente: dove la funzione vale uno, l'esponente vale zero; dove il grafico tende a zero, si intuisce che l'esponente tende a meno infinito, e così via... In questo senso, i limiti sono il modo più semplice per riconoscere una funzione complessa.

Può essere utile provare a disegnare a mano il grafico di una funzione (senza nessuno studio, solo con un po' di ragionamento). Così facendo, si inizieranno a notare i tratti fondamentali dei vari grafici, i punti speciali e il comportamento. Se avete già risolto l'esercizio, ma non siete sicuri di aver indovinato, girate il foglio e provate a disegnare da zero la funzione: se il vostro disegno assomiglia a quello dato, probabilmente avete trovato la funzione giusta!

In conclusione, il miglior modo per imparare a riconoscere le funzioni dal grafico è fare molti esercizi e armarsi di:- quaderno e matita: provate a disegnare funzioni a mano, per abituarvi a vederne le proprietà;- vari grafici da studiare e confrontare tra loro;- tanta, tanta pazienza e determinazione.