Come ricavare l'equazione di una retta passante per due punti

La matematica, si sa, è una materia in grado di mettere in difficoltà numerosi studenti.
Essa comprende un grandissimo numero di argomenti raggruppati in vari rami e tra questi oggi dedicheremo la nostra attenzione a quello della geometria analitica che consiste in quella parte della matematica che si occupa della rappresentazione sugli assi cartesiani di equazioni di diverso grado come ad esempio circonferenze e parabole.
Tra queste equazioni la più semplice è sicuramente quella della retta e la formula che la esprime può essere ricavata da diverse informazioni, come ad esempio coefficiente angolare ed un punto del piano attraversato ma anche conoscendo soltanto due punti di passaggio. Di quest'ultimo caso, ovvero di come ricavare l'equazione di una retta passante per due punti del piano, ci occuperemo proprio in questa guida.

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Per trovare l'equazione della retta passante per due punti la cosa fondamentale è che l'esercizio fornisca, naturalmente, le coordinate dei suddetti punti. Va da se che dovranno dunque essere indicati i valori corrispondenti all'asse delle ascisse (x) e all'asse delle ordinate (y). Un classico esercizio indica solitamente nel seguente modo i due punti: A (1, 2) e B (3, 4), ricordando che nella notazione classica il primo numero corrisponde alla coordinata sull'asse delle ascisse e il secondo a quella dell'ordinata.

Prima di procedere con la risoluzione matematica risulta solitamente utile (e talvolta viene anche esplicitamente richiesto dall'esercizio) eseguire il disegno della retta. Una volta disegnati sul foglio gli assi cartesiani (che sono semplicemente due linee perpendicolari tra loro) bisogna individuare i due punti e tracciare la retta che passa per gli stessi, che ricordiamo essere una soltanto per i postulati di Euclide. Successivamente si potrà procedere all'utilizzo della formula matematica in grado di ricavare la retta che è la seguente e dovrà essere semplicemente imparata a memoria: (x - x1) / (x2 - x1) = (y - y1) / (y2 - y1). Per arrivare a questa formula esiste un procedimento molto articolato ma che solitamente, almeno a livello scolastico, non viene richiesto.

L'utilizzo della formula può sembrare banale, ma per chiarezza è meglio precisare alcuni punti che possono tornare utili. Riprendiamo quindi le coordinate dei punti che avevamo scritto in precedenza, cioè A (1, 2) e B (3, 4). Come già è stato ricordato all'inizio, le prima cifre rappresentano le coordinate di X, mentre le seconde le coordinate di Y. A questo punto ci si può domandare quale punto sia da considerare come primo e quale secondo, ma la scelta è totalmente indifferente poiché il risultato sarà la stesso. In questo caso considereremo x1 = 1, x2 = 3 e y1 = 2, y2 = 4.

Sostituendo i numeri alle lettere presenti nella formula matematica si otterrà come risultato: (x - 1) / (3 - 1) = (y - 2) / (4 - 2). A questo punto non vi resta altro da fare che eseguire questi semplici calcoli per ottenere il seguente risultato: (x - 1) /2 = (y - 2) / 2. Poiché abbiamo ottenuto lo stesso denominatore in entrambi i membri dell'equazione, è possibile eliminarli moltiplicando entrambi i membri per 2 e quindi ottenendo l'equazione: x - 1 = y - 2. Nel caso in cui il denominatore non sia lo stesso, essendo stato questo un caso fortuito, basterà ricondurre il tutto al minimo comune denominatore.

Tuttavia in molti casi viene richiesta la formulazione dell'equazione secondo forma esplicita, ovvero y = mx + q dove ricordiamo che m rappresenta il coefficiente angolare e la q l'ordinata del punto di passaggio per l'origine. Pertanto, nella vostra equazione appena ricavata dovrete andare a isolare la y. Avrete così: - y = - x + 1 - 2. Una volta eseguiti i calcoli otterrete come risultato: - y = - x - 1; cambiando i segni, infine, avrete: y = x + 1 che è l'equazione della retta passante per i due punti assegnati all'inizio.

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