Come ricavare la formula dei battimenti

I battimenti sono un fenomeno fisico che caratterizza le onde. In particolare questo fenomeno si verifica principalmente nelle onde sonore e non è altro che la sovrapposizione di due onde con frequenze diverse ma molto simili tra loro che danno vita ad una nuova onda sonora che ha come frequenza la somma algebrica delle due frequenze. In questa guida, in particolare, vedremo come fare per riuscire a ricavare correttamente la formula dei battimenti.

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Quando due onde di frequenze quasi uguali che viaggiano in un mezzo lungo la stessa direzione si incontrano in un punto, vengono prodotti i battiti. Quando due onde sonore di frequenza dissimile si avvicinano all'orecchio, l'interferenza alternata produttiva e dannosa fa sì che il suono sia alternativamente forte e debole, questo è un fenomeno, che viene definito battito. La frequenza di battimento è uguale al valore completo dell'alterazione della frequenza delle due onde. Il conteggio dei battiti al secondo è equivalente alla differenza di frequenze di due onde è chiamato frequenza dei battiti. Per chiunque abbia già studiato fisicamente le caratteristiche e le formule fisiche di un'onda sa bene che un'onda y è data dalla formula y = a cos (w t). Nella suddetta formula possiamo notare la presenza di w detta pulsazione. Per trovare la pulsazione esiste una formula fisica che possiamo scrivere come w = 2 pigreco / T. Dato che il periodo indicato con T è l'inverso della frequenza possiamo scrivere che la pulsazione w è data dalla formula w = 2 pigreco f.

Considera il suono proveniente da due sorgenti diverse il cui mezzo è l'aria si incontra in un punto p. Supponiamo che una sorgente abbia un periodo di tempo più breve come T S e alta frequenza come f 2 mentre i periodi di tempo e la frequenza di altre sorgenti siano T L e f 1 . Con l'aiuto di queste frequenze, rappresentiamo la frequenza del battito mostrando la relazione tra queste due frequenze. Procediamo adesso sommando due onde seguendo quindi la relazione y = y1 y2. Fatto questo possiamo procedere sostituendo alla formula i valori, dunque: y = a cos (2 pigreco f1 t) a cos (2 pigreco f2 t). Adesso mettiamo in comune la "a" e scriviamo quindi: y = a [ cos (2 pigreco f1 t) cos (2 pigreco f2 t). Fatto questo possiamo adesso procedere applicando le formule trigonometriche chiamate formule di Prostaferesi.

Applicate queste formule potremo scrivere: y = 2 a cos (2 pigreco f2 - 2 pigreco f1 t) / 2 cos (2 pigreco f2 t - 2 pigreco f1 t) / 2. Scritta questa formula possiamo scrivere infine che y = 2 a cos [ pigreco (f1 - f2) t cos (pigreco (f2 f1) t / 2 ]. Questa è quella che può essere considerata la formula finale dei battimenti dove f2 - f1 è l'ampiezza dell'onda variabile mentre f2 f1 è la somma algebrica delle frequenze delle due onde.

Quando arriva la cresta successiva dalla sorgente di periodo più breve, la cresta corrispondente dalla sorgente di periodo più lungo non arriverà per un certo periodo di tempo DeltunT=TL?TSDeltunT=TL?TS. Infatti, con l'arrivo di ogni cresta di breve periodo successivo, la corrispondente cresta di lungo periodo è un'altra??T dietro. Alla fine, dopo un certo numero n di brevi periodi, la cresta di lungo periodo arriverà a una TL completa per un lungo periodo dopo l'arrivo della corrispondente cresta di breve periodo. Quando arriva la cresta di breve periodo, arriva la cresta di lungo periodo che precede la corrispondente cresta di lungo periodo. Ciò si traduce in un'interferenza costruttiva (suono forte). Il tempo necessario, a partire da quando l'interferenza è massimamente costruttiva, perché l'interferenza diventi massimamente costruttiva è il periodo di battimento. Per chi è alle prime armi con il mondo della fisica, potrà trovare i passaggi precedenti leggermente complicati, tuttavia con un po' di pazienza e studiando tutta la teoria necessaria, riusciremo alla fine a ricavare facilmente questa formula. A questo punto non ci resta che provare subito ad applicare le indicazioni di questa guida magari svolgendo qualche semplice esercizio, facilmente reperibile su qualche libro di fisica, o in alcuni siti presenti su internet, che ci aiuteranno a diventare più pratici di questo argomento.

• Il tempo necessario, a partire da quando l'interferenza è massimamente costruttiva, perché l'interferenza diventi massimamente costruttiva è il periodo di battimento.

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