Come Rappresentare Un'Ellisse Sul Piano Cartesiano

tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

Questa guida ci insegna come rappresentare su un piano cartesiano un'ellisse avente degli assi paralleli al sistema di riferimento, pertanto potremmo così notare la sua equazione (canonica). Per farlo saranno sufficienti delle elementari conoscenze riguardanti la geometria analitica e le quattro operazioni, ovvero addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione; è consigliato a tutti coloro che leggono questa guida di eseguire esercizi avente delle ellissi arbitrarie.

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Dato un sistema di riferimento Oxy (ovvero un piano con due assi perpendicolari, il classico "Piano cartesiano"), un'equazione del tipo x^2/a^2 più y^2/b^2 = 1 caratterizza i punti di un’ellisse. Questo vorrà dire che l'insieme dei punti (x; y) che soddisferanno l'equazione di cui sopra sarà proprio un'ellisse solidale avente il sistema di riferimento. La dimostrazione di questo fatto richiederà quindi delle conoscenze abbastanza elevate ed avanzate per il target di questa guida, dunque si darà quindi per scontato che quei punti siano tutti e soli quelli dell'ellisse. N. B.: l'ellisse non sarà una funzione, perché a un valore di x farà corrispondere due valori di y. Si potrà osservare inoltre che, se a=b, l'equazione sarà quella di una circonferenza centrata in O (che sarà una particolare ellisse)

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Per rappresentare l'ellisse sarà certamente indispensabile conoscere bene tutti e quattro i suoi punti: i punti più semplici da calcolare saranno le intersezioni con i due assi, che risulteranno essere quindi {(a;0), (-a;0), (0; b), (-b;0)}. Di per sé, in questo modo sarà possibile disegnare l'ellisse, ma per dare l'esatta e giusta curvatura sarà consigliabile calcolare anche un altro punto, un quinto punto, per esempio le intersezioni con la retta y=x. Una volta che sarà trovato questo ennesimo punto, si potrà quindi per simmetria ricavarne altri tre, uno per ogni quadrante. A questo punto, l'ellisse si potrà disegnare con una buona approssimazione.

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Dall'equazione di un'ellisse sarà possibile ricavare molte altre informazioni su di essa, come ad esempio l'eccentricità, che può essere definita come la radice quadrata di (1 - min (a; b)^2/max (a; b)^2), e dunque potrà essere sempre compresa tra 0 e 1. Essa permetterà di misurare "quanto sarà schiacciata l'ellisse". Si potrà osservare anche che un'eccentricità = 0 risulterà la circonferenza, invece una = 1 (non ottenibile se non con un'operazione di limite) risulterà essere l'asse x o y. Per un esempio si potrà andare a visitare il sito internet di seguito qui elencato su questa guida all'indirizzo internet "http://sircaesar.altervista.org/Ellisse.html".

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Non imbarcarsi in calcoli complicati, se un punto dovesse risultare troppo difficile, provare con un altro valore di x.
  • Attenzione: se tra x^2 e y^2 c'è un MENO, l'equazione è quella di un'iperbole. Non confondersi.

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