Come rappresentare graficamente una funzione esponenziale

Spesso e volentieri, studiando una materia tanto complessa nel suo genere, come può essere la matematica, si inciampa in ostacoli che inizialmente possono sembrare insormontabili, al punto tale da far scoraggiare chi tenta di capirci qualcosa e costringerlo a rinunciare. Nella matematica, questo accade perché quando si commette il primo errore senza accorgersi, quelli di dopo non potranno che essere solo futuri errori che daranno certamente un risultato errato nel calcolo in questione. In questa guida vedremo, più o meno nello specifico, come capire il significato di una funzione esponenziale, le sue caratteristiche e come la si deve rappresentare in un grafico.

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Cominciamo con il capire cosa si intende con "funzione esponenziale". In matematica, non si tende altro che un elevamento a potenza con la base del numero di Eulero e. E in questo modo, quella che chiamiamo come derivata della funzione, in realtà è la funzione stessa. La funzione esponenziale risulta utile in molti ambiti matematici, per esempio la trigonometria, le equazioni differenziali o le trasformate integrali.

La funzione viene solitamente rapprensentata con una e elevata per x oppure con la x. > 0, con "a" inteso come numero reale (non necessariamente un numero intero, ma anche frazionario o irrazionale) positivo e diverso da 1, si dice funzione esponenziale elementare ogni funzione scritta nella forma: y = a^x (y uguale a elevato x). Si deve invece escludere il caso in cui a = 1, poiché 1^x = 1, qualunque sia il valore di x e la funzione y = a^x diventa la retta di equazione Y = 1. È quindi basilare che, in una funzione esponenziale, a sia diverso da 1.

Bisogna tener presente che: A) se a > 1, allora la funzione y = a^x è una funzione crescente, ovvero quando crescono i valori di x, crescono conseguentemente anche quelli di y, in maniera molto rapida; B) se a < 1, la funzione y = a^x è una funzione decrescente, pertanto quando crescono i valori di x, quelli di y diminuiscono. In entrambi i casi, inoltre, la funzione Y = a^x passa per le coordinate (0,1) per qualsiasi valore di a, tant'è che a^0 = 1; ha sempre dei valori positivi per ogni x che appartiene ad R (insieme numeri reali).

Ricordate che la funzione y = ex ha sempre le stesse caratteristiche. Infatti la funzione si presenta sempre crescente e soprattutto positiva. Possiede l'asintoto orizzontale nell' asse x, dove la curva tenderà sempre a -infinito. Il punto di intersezione fra la curva e l'asse y, sarà sempre pari a 0, 1. Infine, con l' aumentare delle x poste oltre il punto 1, la curva risponderà con una rapida crescita verso l' alto.

Nella funzione esponenziale elementare y = a^x, rappresentata graficamente, l'asse delle ascisse (x) costituisce un asintoto (una retta che si avvicina alla funzione senza però intersecarsi ad essa) nella funzione. Il grafico della funzione esponenziale viene rappresentato con una curva che tende a crescere lentamente all'inizio e sempre più veloce andando avanti, in cui la funzione della variabile x è sempre in aumento e va crescente verso l'alto. Nel caso contrario, essendo quindi decrescente, inizierà velocemente e continuerà calando. Il semiasse negativo, sempre di x, è appunto un asintoto della funzione.

Possiamo anche avere capito tutto, ma nella matematica, per vedere se tutto ci è veramente chiaro come sembra, si devono provare i calcoli in pratica e fare più esercizi possibili, possibilmente diversi tra loro, per avere l'occasione di capire totalmente l'argomento e non focalizzarsi su un solo esempio.
La prima cosa da fare è ovviamente costruire un grafico, con due assi che ai intersecano perpendicolarmente tra loro, orizzontale x, verticale y.
Daremo poi dei valori alle assi, che devono corrispondere in entrambi per coordinamento di spazi (se in x 1 vale un quadratino, sarà lo stesso per y). Dopo aggiunti i valori non ci resta che seguire i giusti calcoli e la nostra funzione apparira da sé.

Cerchiamo di capire, se possibile, facendo un esempio. Prendendo le funzioni di equazione y = 2^x e y = 3^x vediamo rispettivamente che a = 2 e a = 3 (sono quindi funzioni crescenti). Costruendo il grafico, notiamo che y = 3^x cresce più velocemente di y = 2^x quando x > 0. Viceversa, prendendo le funzioni di equazione y = (1/2)^x (un mezzo elevato alla x) e y = (1/3)^x vediamo rispettivamente che a = 1/2 (un mezzo) e a = 1/3 (sono quindi funzioni decrescenti). Costruendo il grafico, notiamo che la curva y = (1/3)^x decresce più velocemente rispetto a y = (1/2)^x quando x < 0. Confrontando i due grafici è possibile vedere che c'è simmetria rispetto all'asse y, si può dire allora che le curve di equazione y = a^x e y = (1/a)^x (uno fratto a alla x), sono simmetriche rispetto all'asse y. Come potrete vedere voi stessi.

Ed ecco a voi, questa sarà la spiegazione basilare inerente alla realizzazione di un grafico che rappresenti una funzione esponenziale elementare. Ricordate sempre che in questo tipo di funzione la base sarà costante, l'esponente invece dovrà essere variabile. Ci sono però tanti casi in un solo argomento di matematica che toccarli tutti per comprendere interamente è molto difficile, è però consigliato prendere un libro di testo ed esercitarsi quanto più possibile, finché non sentiremo di padroneggiare al meglio l'argomento.

• esercitarsi a più non posso

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