Come rappresentare graficamente una funzione esponenziale

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Difficoltà: media
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Introduzione

Spesso e volentieri, studiando una materia complessa nel suo genere come la matematica, si incespica in ostacoli che inizialmente possono sembrare insormontabili, al punto tale da far scoraggiare chi tenta di capirci qualcosa in fatto di numeri. Ad aggiungersi c'è anche un secondo motivo di demoralizzazione, il fatto che se si sbaglia una cifra base, si attiva un meccanismo a catena che fa mal eseguire tutto il calcolo in questione. In questa guida vedremo, più o meno nello specifico, come capire il significato di una funzione esponenziale, le sue principali caratteristiche utili per risolvere sia equazioni che disequazioni e come rappresentarla graficamente.

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Cominciamo con il capire cosa si intende con "funzione esponenziale". Dato un numero reale a > 0, con "a" inteso come numero reale (non necessariamente un numero intero, ma anche frazionario o irrazionale) positivo e diverso da 1, si dice funzione esponenziale elementare ogni funzione scritta nella forma: y = a^x (y uguale a elevato alla x). Si deve invece escludere il caso in cui a = 1, poiché 1^x = 1, qualunque sia il valore di x e la funzione y = a^x diventa la retta di equazione Y = 1. È quindi sottinteso che, in una funzione esponenziale, a è diverso da 1.

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Bisogna tener presente che: A) se a > 1, allora la funzione y = a^x è una funzione crescente, ovvero quando crescono i valori di x, crescono a loro volta anche quelli di y, in maniera molto rapida; B) se a < 1, la funzione y = a^x è una funzione decrescente, pertanto quando crescono i valori di x, quelli di y diminuiscono. In entrambi i casi, inoltre, la funzione Y = a^x passa per le coordinate (0,1) per qualsiasi valore di a, tant'è che a^0 = 1; ha sempre dei valori positivi per ogni x che appartiene ad R (insieme dei numeri reali).

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In conclusione, nella funzione esponenziale elementare y = a^x, rappresentata graficamente, l'asse delle ascisse (quella x) costituisce un asintoto (una retta alla quale la funzione si avvicina senza che le due si intersechino) per la funzione. Il grafico della funzione esponenziale è la curva esponenziale. Vedasi foto.

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La funzione esponenziale, rappresentata in un grafico, ha una curva che all'inizio cresce lentamente per poi velocizzarsi al crescere di x quando a > 1, oppure una curva che decresce prima rapidamente e poi rallenta al crescere di x quando 0 < a < 1.

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Cerchiamo di capire, se possibile, facendo un esempio. Prendendo le funzioni di equazione y = 2^x e y = 3^x vediamo rispettivamente che a = 2 e a = 3 (sono quindi funzioni crescenti). Costruendo il grafico, notiamo che y = 3^x cresce più velocemente di y = 2^x quando x > 0. Viceversa, prendendo le funzioni di equazione y = (1/2)^x (un mezzo elevato alla x) e y = (1/3)^x vediamo rispettivamente che a = 1/2 (un mezzo) e a = 1/3 (sono quindi funzioni decrescenti). Costruendo il grafico, notiamo che la curva y = (1/3)^x decresce più velocemente rispetto a y = (1/2)^x quando x < 0. Confrontando i due grafici è possibile vedere che c'è simmetria rispetto all'asse y, si può dire allora che le curve di equazione y = a^x e y = (1/a)^x (uno fratto a alla x), sono simmetriche rispetto all'asse y. Vedasi foto.

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Questa, la spiegazione basilare inerente alla realizzazione di un grafico che rappresenti una funzione esponenziale elementare e alle caratteristiche che la contraddistinguono e differenziano da altre tipologie di calcolo, come ad esempio la funzione logaritmica.

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