Come rappresentare graficamente una funzione esponenziale

tramite: O2O
Difficoltà: media
18

Introduzione

Spesso e volentieri, studiando una materia complessa nel suo genere come la matematica, si incespica in ostacoli che inizialmente possono sembrare insormontabili, al punto tale da far scoraggiare chi tenta di capirci qualcosa in fatto di numeri. Ad aggiungersi c'è anche un secondo motivo di demoralizzazione, il fatto che se si sbaglia una cifra base, si attiva un meccanismo a catena che fa mal eseguire tutto il calcolo in questione. In questa guida vedremo, più o meno nello specifico, come capire il significato di una funzione esponenziale, le sue principali caratteristiche utili per risolvere sia equazioni che disequazioni e come rappresentarla graficamente.

28

Cominciamo con il capire cosa si intende con "funzione esponenziale". Dato un numero reale a > 0, con "a" inteso come numero reale (non necessariamente un numero intero, ma anche frazionario o irrazionale) positivo e diverso da 1, si dice funzione esponenziale elementare ogni funzione scritta nella forma: y = a^x (y uguale a elevato alla x). Si deve invece escludere il caso in cui a = 1, poiché 1^x = 1, qualunque sia il valore di x e la funzione y = a^x diventa la retta di equazione Y = 1. È quindi sottinteso che, in una funzione esponenziale, a è diverso da 1.

38

Bisogna tener presente che: A) se a > 1, allora la funzione y = a^x è una funzione crescente, ovvero quando crescono i valori di x, crescono a loro volta anche quelli di y, in maniera molto rapida; B) se a < 1, la funzione y = a^x è una funzione decrescente, pertanto quando crescono i valori di x, quelli di y diminuiscono. In entrambi i casi, inoltre, la funzione Y = a^x passa per le coordinate (0,1) per qualsiasi valore di a, tant'è che a^0 = 1; ha sempre dei valori positivi per ogni x che appartiene ad R (insieme dei numeri reali).

Continua la lettura
48

In conclusione, nella funzione esponenziale elementare y = a^x, rappresentata graficamente, l'asse delle ascisse (quella x) costituisce un asintoto (una retta alla quale la funzione si avvicina senza che le due si intersechino) per la funzione. Il grafico della funzione esponenziale è la curva esponenziale. Vedasi foto.

58

La funzione esponenziale, rappresentata in un grafico, ha una curva che all'inizio cresce lentamente per poi velocizzarsi al crescere di x quando a > 1, oppure una curva che decresce prima rapidamente e poi rallenta al crescere di x quando 0 < a < 1.

68

Cerchiamo di capire, se possibile, facendo un esempio. Prendendo le funzioni di equazione y = 2^x e y = 3^x vediamo rispettivamente che a = 2 e a = 3 (sono quindi funzioni crescenti). Costruendo il grafico, notiamo che y = 3^x cresce più velocemente di y = 2^x quando x > 0. Viceversa, prendendo le funzioni di equazione y = (1/2)^x (un mezzo elevato alla x) e y = (1/3)^x vediamo rispettivamente che a = 1/2 (un mezzo) e a = 1/3 (sono quindi funzioni decrescenti). Costruendo il grafico, notiamo che la curva y = (1/3)^x decresce più velocemente rispetto a y = (1/2)^x quando x < 0. Confrontando i due grafici è possibile vedere che c'è simmetria rispetto all'asse y, si può dire allora che le curve di equazione y = a^x e y = (1/a)^x (uno fratto a alla x), sono simmetriche rispetto all'asse y. Vedasi foto.

78

Questa, la spiegazione basilare inerente alla realizzazione di un grafico che rappresenti una funzione esponenziale elementare e alle caratteristiche che la contraddistinguono e differenziano da altre tipologie di calcolo, come ad esempio la funzione logaritmica.

88

Guarda il video

Potrebbe interessarti anche

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Segnala il video che ritieni inappropriato
Devi selezionare il video che desideri segnalare
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Superiori

Come risolvere un'equazione esponenziale

A prima vista, un'equazione esponenziale potrebbe apparire un qualcosa di estremamente complicato ed impossibile da risolvere. Tuttavia è sufficiente conoscere alcune importanti proprietà delle potenze, per risolvere senza problemi questo tipo di esercizi....
Superiori

Come passare dall'esponenziale al logaritmo

Possiamo affermare con certezza che la matematica non sarà mai al primo posto come la materia più amata dagli studenti italiani e non solo. Quando, già dalle scuole medie, il programma abbandona la semplicità dei calcoli e gli argomenti si complicano...
Superiori

Come risolvere le disequazioni esponenziali

Una disequazione esponenziale è una disequazione in cui l'incognita si trova come esponente di una base. Inoltre per le proprietà delle potenze è possibile affermare che il prodotto tra due potenze che hanno la stessa base è una potenza che ha per...
Superiori

Matematica: la funzione iperbolica

Le funzioni iperboliche, in matematica, sono particolari funzioni con caratteristiche simili alle funzioni trigonometriche; proprio per questo ne riprendono i nomi: seno e coseno iperbolico, tangente e cotangente iperbolica. Queste funzioni sono legate...
Superiori

Come calcolare la distribuzione esponenziale

In campo matematico, la distribuzione serve a calcolare il valore di probabilità di una variabile aleatoria. Si definisce variabile aleatoria, quella funzione che, a causa di fenomeni aleatori, può assumere valori differenti. Consente di calcolare gli...
Superiori

Il calcolo della distribuzione di Maxwell nei gas perfetti

La teoria cinetica descrive i gas perfetti come particelle, atomi e molecole costantemente in movimento. James Clerk Maxwell (1831-1879) studiò le velocità di queste particelle, intorno a quella quadratica media. Nel 1859, con un calcolo esponenziale,...
Superiori

Come calcolare la notazione esponenziale

Generalmente quando si studiano argomenti complessi che riguardano i calcoli matematici, spesso ci si ritrova a non capire bene determinati passaggi ed è importante dunque approfondire tali argomenti leggendo delle guide semplici che possano chiarire...
Superiori

Come calcolare il dominio di una funzione esponenziale

In analisi matematica si incontrano spesso delle difficoltà dovute al fatto che molti argomenti sembrano inizialmente ostici ma, una volta compresi a pieno, la strada sarà sicuramente più agevole. In particolare uno dei primi esercizi a cui si va incontro...
I presenti contributi sono stati redatti dagli autori ivi menzionati a solo scopo informativo tramite l’utilizzo della piattaforma www.o2o.it e possono essere modificati dagli stessi in qualsiasi momento. Il sito web, www.o2o.it e Arnoldo Mondadori Editore S.p.A. (già Banzai Media S.r.l. fusa per incorporazione in Arnoldo Mondadori Editore S.p.A.), non garantiscono la veridicità, correttezza e completezza di tali contributi e, pertanto, non si assumono alcuna responsabilità in merito all’utilizzo delle informazioni ivi riportate. Per maggiori informazioni leggi il “Disclaimer »”.