Come rappresentare graficamente un ellisse

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Introduzione

L'ellisse è una figura geometrica definita come il luogo dei punti del piano per i quali la somma delle distanze da due punti, definiti fuochi, è fissa. In altri termini, l'ellisse potrà essere definito come un cerchio dalla forma allungata in una direzione. L'ellisse è una figura geometrica molto importante, poiché secondo le leggi di Keplero, le orbite dei pianeti sono proprio delle ellissi, di cui il sole rappresenta uno dei due fuochi. Nella seguente guida vedremo insieme come rappresentare graficamente tale figura.

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Occorrente

  • Foglio
  • Righello
  • Matita
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Considerando un piano di riferimento cartesiano, vediamo come rappresentare un ellisse centrata nell'origine del piano di riferimento. L'equazione che descrive l'ellisse che vogliamo rappresentare è (x^2)/9 + (y^2)/4 = 1. Per tracciare l'ellisse, conoscendo già la posizione in cui è centrata, cioè l'origine del sistema di riferimento cartesiano di coordinate pari a (0,0), sarà sufficiente calcolare l'intersezione con gli assi x e y. Questi valori non sono altro che le lunghezze dei semiassi, maggiore e minore, dell'ellisse e, ovviamente, saranno positivi poiché le lunghezze sono dei segmenti.

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Per calcolare le lunghezze dei semiassi dell'ellisse, cioè l'intersezione dell'ellisse con gli assi x e y, sarà sufficiente risolvere due sistemi: il primo composto dall'equazione dell'ellisse e dall'equazione dell'asse x, cioè y=0, ed il secondo composto dall'equazione dell'ellisse e dall'equazione dell'asse y, cioè x=0. Risolvendo il primo sistema, si ottengono le seguenti coppie di valori, che rappresentano i punti di intersezione con l'asse x: (-3,0) e (+3,0). Risolvendo il secondo sistema otteniamo i punti di intersezione con l'asse y, che saranno: (0,-2) e (0,+2). Ricavati questi punti, siamo già in grado di rappresentare graficamente la nostra ellisse.

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L'equazione dell'ellisse appena risolta è riferita al caso semplice in cui l'ellisse è centrata nell'origine e l'equazione è già nella forma canonica. Nel caso ci troviamo di fronte ad un'equazione che non sia nella forma canonica dovremo effettuare alcuni passaggi algebrici per renderla tale. Un metodo molto utile in questo senso è il metodo del completamento dei quadrati. La forma generica dell'equazione dell'ellisse alla quale dobbiamo giungere sarà pari a [(x-x0)^2]/a^2 + [(y-y0)^2]/b^2 = 1. In tale equazione la coordinata (x0, y0) rappresenta il punto in cui sarà centrata l'ellisse, la quale potremo rappresentarla seguendo lo stesso metodo visto nel passo precedente.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Consultate dei manuali di geometria per comprendere appieno la procedura.
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