Come ottenere un numero ciclico a partire da un numero primo

tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

Un numero ciclico è un numero intero che, quando moltiplicato, produce le stesse cifre in un ordine diverso; essi sono generati dai numeri primi (7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, etc.). È stato ipotizzato, ma non ancora dimostrato, che esiste un numero infinito di numeri ciclici: infatti, la frazione del numero ciclico di tutti i numeri primi si suppone che sia costante. Quando un numero ciclico viene moltiplicato per il suo generatore, il risultato sarà una stringa di nove cifre e questo è un caso speciale del teorema di Midy. Ma ora vediamo, attraverso i passi della seguente guida, come ottenere un numero ciclico a partire da un numero primo.

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Facciamo una prova: partiamo da un numero a nostra scelta, ad esempio il 17. Ma assicuriamoci di aver scelto un numero primo. Il 17 è dispari e non è divisibile per alcun altro numero se non per uno. Quindi possiamo sicuramente concludere che 17 è primo. Se non ne siamo sicuri, facciamo le prove delle divisioni o cerchiamo un libro che ci dirà se il numero che abbiamo scelto è primo o no. A questo punto dobbiamo calcolare il suo numero reciproco, cioè dobbiamo ricavare l'espressione in forma decimale del rapporto che ha con il numero uno.

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Dal calcolo richiesto si ottiene un valore di numero reciproco esattamente uguale a 0,058823529411764705882352941176470588235294117647
Questo è un numero decimale periodico, in quanto possiamo osservare una ripetizione regolare e costante di sequenze sempre uguali di cifre, dopo la virgola. Infatti, se si osserva il numero, 058823594117647 dopo la virgola è ripetuto per ben tre volte. Il periodo (cioè la sequenza di cifre che si ripete) rende il numero periodico. Proprio questo periodo si può chiamare numero ciclico se rispetta la seguente condizione.

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La regola che stabilisce la relazione tra numeri primi e numeri ciclici ci suggerisce di verificare di quante cifre è costituita la sequenza che rappresenta il periodo del reciproco del numero primo di partenza. Nel nostro caso possiamo contare le cifre del periodo 0588235294117647 che sono esattamente 16. La regola impone poi di accertarci se la dimensione del periodo sia uguale al numero primo di partenza diminuito di uno. Infatti nel nostro caso abbiamo un periodo che è proprio di 16 cifre, mentre il numero di partenza era 17, che diminuito di uno diventa appunto 16. Ecco finalmente dimostrato dunque che abbiamo potuto ottenere il numero ciclico 0588235294117647, a partire da un numero primo (17).

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