Come ottenere il ribaltamento di un piano

Tramite: O2O 05/06/2018
Difficoltà: media
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Introduzione

Il piano in geometria analitica è un concetto primitivo, ovvero un concetto che si suppone intuitivamente comprensibile, non necessitando quindi di una definizione in quanto universalmente acquisito (gli altri concetti primitivi della geometria sono il punto e la retta). Inteso come luogo geometrico di punti, il piano, rappresentato nello spazio a tre o più dimensioni, è l'insieme di tutti quei punti individuati dalla combinazione lineare di 2 vettori linearmente indipendenti, applicati nel medesimo punto P, in alternativa due rette fra loro incidenti o parallele possono essere contenute in un solo piano. Dal punto di vista della geometria differenziale, il piano è quella superficie che ha entrambe le curvature fondamentali nulle ovvero sia. Le relazioni che intercorrono tra un piano e i punti e le rette che esso contiene sono espresse dagli assiomi di Euclide e dagli assiomi di Hilbert. Si può studiare la posizione reciproca di due piani in uno spazio multidimensionale mettendo a sistema le loro equazioni. Quando la matrice dei coefficienti ha rango 2 il sistema è compatibile e risulta ammettere una infinità semplice (infinito elevato alla uno) soluzioni, che rappresentano tutti i punti della retta di intersezione tra i due piani. Quando la matrice dei coefficienti ha rango 1, le soluzioni ammesse sono una doppia infinità (infinito alla due), e i piani risultano essere paralleli e coincidenti e si parla di Parallelismo Improprio. Con la guida seguente vi spiegherò come si fa per ottenere il ribaltamento di un piano.

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Occorrente

  • Foglio da disegno
  • matita
  • righello
  • compasso
  • squadrette
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Comprendere il concetto di ribaltamento

Prima di proseguire con le operazioni pratiche per ottenere il ribaltamento di un piano, occorre partire dal concetto, ovvero il fatto, che un dato piano dovrà essere ribaltato su un altro piano. Per rappresentare indicativamente questo problema bisogna tracciare a matita su un foglio da disegno, meglio se usando un righello, una figura geometrica che rappresenti in maniera indicativa il piano generico e denominarla con una qualsiasi lettere dell'alfabeto greco (alfa, beta, gamma, delta, ecc.) bisogna però stare attenti a non confondere la rappresentazione con il piano stesso che di fatto può avere dimensioni infinite ed essere cioè completamente privo di bordi. Bisogna proseguire poi tracciando un altro piano che sia ortogonale al primo per ciascun riquadro di rappresentazione in cui è diviso il foglio, i due piani devono cioè avere in comune solo una retta. Nella nostra rappresentazione semplificata il piano è un semplice rettangolo, ma nella realtà i quadranti sono solo indicativi. Fatto ciò si otterranno delle tracce che si andranno a denominare con t ¹ e t ² e si potrà evidenziare per comodità anche un angolo retto. Per ribaltamento di un piano si intende la rotazione intorno ad una traccia che è la retta di intersezione, fino a quando i punti dei due piani non risulteranno fra loro coincidenti e sovrapposti a coppie.

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Definire l'asse di ribaltamento

A questo punto per il principio del ribaltamento di un piano, la traccia chiamata t ¹ diventerà l'asse di ribaltamento, mentre la traccia indicata con t ² ci serve solo per capire la direzione ipotetica del movimento di rotazione che il piano compirà nello spazio per ribaltarsi sull'altro. Le due tracce hanno in comune il punto V, che viene detto punto di origine, quindi una volta scelto il ribaltamento da eseguire si disegnerà la seconda traccia partendo proprio da quest'ultimo.

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Effettuare il ribaltamento

Successivamente, per ottenere il ribaltamento di un piano completo su di un altro piano, la traccia chiamata t² diventerà l'asse di ribaltamento mentre la prima traccia, quella che prima era l'asse, indicata con t ¹ andrà ad essere adesso la linea di terra. La verifica finale per controllare che il ribaltamento sia stato effettuato in maniera corretta è quella di controllare che le equazioni finali indichino che tutti i punti del piano ribaltato si trovino sul piano di ribaltamento, ma siano speculari rispetto all'asse se confrontati con quelli originali.

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