Come misurare un angolo senza goniometro

La geometria è una disciplina che studia le figure nel piano e nello spazio. Speso si dice che si può usare solo riga e compasso per una costruzione, anche molto complessa, perché esistono proprietà che rendono superfluo per esempio l'uso di strumenti, peraltro poco precisi, come il goniometro o la squadra. Con questa breve guida vi spiegherò come si fa a misurare un angolo senza goniometro sfruttando le sue proprietà trigonometriche. Buon divertimento, e ricordate che per quanto tedioso, questo ed altri esercizi sono indispensabili per un futuro professionale di alto livello.

• Formule trigonometriche
• Righello
• Calcolatore scientifico

La trigonometria è la branca della geometria che si interessa dello studio degli angoli ed in particolare si concentra sui triangoli rettangoli, producendo poi le formule adatte anche per altre tipologie. In un triangolo rettangolo il seno di un angolo è legato direttamente al cateto che ha di fronte e all'ipotenusa secondo la formula: cateto=ipotenusa*seno(angolo). Tracciamo un triangolo a partire dall'angolo e utilizziamo la formula inversa del seno. In questo modo, possiamo calcolare l'ampiezza dell'angolo. Per risolvere la relazione basta una comunissima calcolatrice scientifica che ci permetta di effettuare calcoli con le funzioni trigonometriche. Si devono andare a misurare con precisione le lunghezze del cateto e dell'ipotenusa ed applicare la relazione.

Purtroppo per noi, la relazione che abbiamo riportata al passo precedente non è sufficiente per trovare l'angolo che ci interessa. Il problema è piuttosto semplice da capire: ci sono infiniti angoli con lo stesso seno. Ora, per fortuna stiamo lavorando su un disegno geometrico e non su una ruota in movimento e quindi possiamo già ridurre il campo di indagine agli angoli compresi fra o e 360 gradi. In questo caso ci sono solo due angoli con lo stesso seno "a" e "180°-a" che sono speculari uno rispetto all'altro se si impiega un ipotetico asse y passante per il vertice e perpendicolare al lato scelto come secondo cateto, ossia uno dei due segmenti dell'angolo da misurare. Si deve quindi andare a calcolare anche il coseno che è legato al seno dalla relazione {[cos(a)]^2}+{[sin(a)^2]}=1.

Per andare a calcolare il coseno si usa un procedimento analogo rispetto al seno sempre sfruttando il triangolo rettangolo costruito a partire dall'angolo fornito come argomento del problema con una piccola variante. Il calcolo del coseno segue la semplice relazione matematica: ipotenusa*coseno(angolo)=cateto_solidale_angolo. Per cateto_solidale_angolo si intende il cateto giacente sull'ipotetico asse x del disegno. La coppia seno e coseno ci danno un'indicazione univoca dell'angolo, ma si può usare anche un'altra relazione che si basa sull'impiego delle tangenti e che a sua volta apre ad un'altra branca della trigonometria che è la parte dedicata a questa funzione.

Per procedere alla stima delle tangenti si deve fare un po' di costruzione con riga e compasso. Per praticità parlo di circonferenza a raggio unitario, ma in realtà va bene un raggio qualunque, a patto di normalizzare tutte le misure in base alla sua. Tracciare la circonferenza di raggio unitario con centro sul vertice dell'angolo che interseca l'asse x in "a" e l'ipotenusa in "p". Tracciare il segmento perpendicolare che interseca "a" e il prolungamento dell'ipotenusa nel punto "t". La distanza fra "p" e l'asse x è il seno dell'angolo, la distanza fra "p" e l'asse x è la tangente sempre dello stesso angolo. Misurare la tangente ed applicare la formula inversa per l'arcotangente, ricordando che l'angolo ricavato deve essere poi stimato in base al disegno, perché il risultato che ci viene è valido per coppie di angoli. Basta vedere se l'angolo che stiamo studiando è acuto oppure ottuso. Analogamente se giace nel terzo o quarto quadrante anche se serve uno sforzo mentale notevole per immaginare gli angoli in quelle posizioni perché noi per natura li riconduciamo sempre a angoli nel primo e nel secondo, girando il foglio. Prestate quindi attenzione alle condizioni al contorno.

• Prima di iniziare questi calcoli ripassiamo bene le formule di trigonometria

• Trigonometria
• Calcolo degli angoli

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