Come mettere una matrice in fForma di Jordan

La forma canonica di Jordan è un caso generalizzato della diagonalizzazione di una matrice, processo che ricordiamo è possibile effettuare solo se esiste una base dello spazio rispetto alla quale la matrice di trasformazione è diagonale. Mettere una matrice in forma di Jordan è abbastanza semplice ed è molto utile per calcolare la nilpotenza (proprietà di essere nilpotente, che per una matrice significa avere tutti gli autovalori nulli) della matrice e quindi per esempio nel caso in cui sia necessario effettuare elevazioni a potenze molto alte. Premesso ciò, in questa guida andremmo ad insegnare il metodo più veloce per Jordanizzare una matrice con l'utilizzo di brevi e semplici passaggi.

• Nozioni di Geometria 1

Una volta considerata la matrice da Jordanizzare, il primo passo che bisogna eseguire è quello di sottrarre a tale matrice la matrice identità (tale definizione, per chi non lo sapesse, corrisponde ad una matrice avente per elementi 1 sulla diagonale e con 0 negli altri posti) moltiplicata per una costante C. A questo punto, dovrai calcolare il determinante della matrice, utilizzando il metodo che più preferisci (Sarrus o Laplace) e porre quest'ultimo uguale a 0. Così facendo C diventerà la tua incognita ed una volta trovate le varie soluzioni, potrai passare alla fase due. Importante ricordare che (C-1)^2 ha come risultato 1, ma contato due volte.

Metti nella matrice, al posto di C, la prima soluzione che hai trovato. Il determinante sarà nullo perché è così che lo hai posto e di conseguenza il KER (lo spazio in cui la funzione associata alla matrice da 0) sarà diverso da 0. Non resta quindi che calcolare il vettore (o i vettori) che genera il KER, utilizzando un semplice sistema lineare. Una volta fatto questo passaggio per tutte le soluzioni di C hai due casi distinti.

Nel caso in cui il numero dei vettori che generano il KER sono lo stesso numero delle soluzioni, allora la matrice può essere diagonalizzata, cioè può essere espressa come una matrice con sulla diagonale i suoi autovalori (le soluzioni di C), la cui base di trasformazione saranno i vettori generatori del KER. Nel caso contrario invece, cioè se i vettori non sono lo stesso numero delle soluzioni, allora nei casi in cui a "n" soluzioni uguali corrispondono "m" vettori, la quantità di 1 sopra gli autovalori nella matrice finale sarà dato da n-m.

Per trovare la base che Jordanizza la matrice, devi scrivere la matrice con al posto di C l'autovalore che ha il numero di soluzioni coincidenti diverso dal numero di vettori che generano il KER e trovare un vettore che moltiplicato per la matrice dia il vettore che genera il KER. Poi trova un vettore che moltiplicato per la matrice dia il vettore che hai trovato prima. Procedi per induzione fino a che il numero di vettori e di soluzioni non sarà lo stesso. I vettori che generano il KER insieme ai vettori che hai trovato saranno la base della tua trasformazione di Jordan. Una volta individuato l'intero insieme dei vettori avrete quindi concluso le operazioni necessarie al fine di raggiungere il vostro scopo!

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