Come linearizzare una parabola

Tramite: O2O 30/06/2016
Difficoltà: difficile
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Introduzione

La linearizzazione di una curva quadratica è uno strumento utile quando si è impossibilitati ad utilizzare una calcolatrice per ricavare il valore esatto della funzione per una determinata ascissa. Una curva quadratica è caratterizzata da un equazione dove compaiono termini elevati fino alla potenza quadrata e moltiplicati per coefficienti (a, b, c) costanti. Vediamo quindi come fare per linearizzare una parabola.

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Occorrente

  • Concetto di derivata
  • Nozione di intorno di un punto
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La linearizzazione di una parabola sfrutta il concetto di derivata. Quest'ultima, se esiste, è definita come il limite del rapporto incrementale della funzione per un delta (?) tendente a zero. La derivata descrive con quale rapidità la funzione cambia valore rispetto al variare di x. Come si può vedere in figura, il comportamento di una curva quadratica nell'intorno di un determinato punto Xo può essere approssimato con la retta passante per quel punto e avente come coefficiente angolare la derivata della funzione calcolata in quel punto.

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Il concetto che sta quindi alla linearizzazione è che rimanendo nell'intorno di un punto Xo, il comportamento della curva quadratica è in buona approssimazione identico a quello della retta tangente in quel punto.
I calcoli da fare sono davvero pochi, si calcola la derivata della parabola e si sostituisce Xo. Si calcola la ordinata per il punto Xo e si risolve ricavando X. Ricordando che la derivata di una parabola è f'(x)=2aXo+b.

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Concludiamo con un esempio pratico. Immaginiamo di avere la parabola P1 (come indicato in figura) e di voler calcolare il valore della funzione per un punto X=2.02. Come già accennato precedentemente è possibile muoverci nell'intorno di questo punto, per comodità sceglieremo quindi di utilizzare un valore Xo=2. Il valore della derivata in questo punto è uguale ad 11 ed è di facile risoluzione, anche senza l'uso di una calcolatrice.

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Come mostrato in figura, dopo aver calcolato la derivata nel punto Xo=2, risolviamo l'equazione trovando un valore di f (x) uguale a 16.2200. Notiamo che per trovare il valore di f (x) non è stato necessario effettuare elevamenti a potenza con numeri decimali. In questo caso il valore di X viene infatti solamente moltiplicato per il valore della derivata calcolata nel punto prossimo a X, Xo. Nel caso avessimo usato una calcolatrice il risultato sarebbe stato di 16.2208. Da ciò è possibile dedurre che il metodo della linearizzazione è un metodo che presenta una buona precisione; il valore infatti differisce soltanto per la quarta cifra decimale!

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