Come introdurre il concetto di limite

tramite: O2O
Difficoltà: media
15

Introduzione

Una delle materie che generale il maggior numero di problemi negli studenti, sia a scuola che successivamente all'università, è sicuramente la matematica. I suoi concetti per diversi studenti sono di difficile assimilazione, in quanto la concatenazione dei vari elementi porta alla possibilità dell'accumulazione di dubbi, che sommati generano gravi problemi di recupero.
La guida che svilupperemo tratterà proprio la matematica, e si porrà come obiettivo quello di riuscire a capire come introdurre il concetto di limite.
Dal punto di vista intuitivo introdurre il concetto di limite è alquanto semplice. Infatti, data una funzione f (x), il limite l della funzione è quel valore che assume sempre di più all'avvicinarsi di x un valore x0. In particolare per f (x) ed x deve esistere un intorno continuo di numeri per poter parlare di limite. Un intorno continuo I di x0 lo si può definire come l’insieme dei valori di x compresi tra l-e ed l+e con e > 0. A questo punto possiamo definire in maniera rigorosa cosa si intende per limite di una funzione. Vediamolo insieme.

25

Il concetto di limite

La funzione f (x) ha un limite finito l, per x che tende a x0. Cioè Lim f (x) = l per x che tende ad x0 se, per ogni e > 0, si può individuare un intorno I (x0) tale che, per ogni x appartenente ad I (x0), si abbia | f (x) - l | < e. A seconda che si vada ad avvicinarsi al valore x0 dal lato sinistro o dal lato destro, determinate funzioni possono assumere due limiti, che sono semplicemente due valori che denomineremo come limite destro e limite sinistro. Ma quand'è che parliamo di limite? Andiamo a parlare di limite I nel momento in cui esiste una coincidenza tra il limite sinistro e il limite destro. Generalmente, il limite finito o infinito di tendenza della funzione, esattamente come la variabile x può assumere valori sia costanti o meno. In caso di limite infinito, la definizione di limite si modifica come segue. La funzione f (x) ha un limite infinito, per x che tende a x0, se, per ogni M > 0, si può individuare un intorno I (x0) tale che, per ogni x appartenente ad I (x0), si ha che | f (x) | > M..

35

I quattro scenari

Per questa motivazione, possiamo trovarci davanti a quattro differenti scenari. Eccoli: Per cui ci possiamo trovare davanti ad uno dei seguenti quattro scenari.

Limite infinito per x che tende ad un valore finito x0.
Limite finito l per x che tende ad un valore finito x0.
Limite infinito per x che tende ad un valore infinito.
Limite finito l per x che tende ad un valore infinito.

Arrivati a questo punto, possiamo fare degli esempi abbastanza noti per far comprendere meglio la situazione.
Il limite per x che tende a zero della funzione y = 1/(x-1)2, è infinito. Più x si avvicina a zero e quindi 1/2, 1/4, 1/6, 1/200, più y diventa grande, tendendo ad infinito. Un altro esempio viene dalla funzione f (y) =y, cioè la retta. Al tendere di x ad infinito anche y crescerà, tendendo ad infinito.

Continua la lettura
45

L'asintoto verticale e orizzontale

Alcune funzioni, al tendere di x a xo, si avvicinano sempre di più ad una retta che può essere parallela all'asse delle ascisse o delle co-ordinate. In questo particolare caso la retta prende il nome di asintoto verticale o orizzontale.
In chiusura, vi consiglio la ripetizione di questi esercizi in modo tale da renderli sempre più automatici e, inoltre, vi consiglio di approfondire la tematica, anche attraverso la lettura di questo interessante link: https://it.wikipedia.org/wiki/Limite_(matematica).

55

Consigli

Non dimenticare mai:
  • Potreste chiedere ulteriori delucidazioni e chiarimenti al vostro professore
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

Potrebbe interessarti anche

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Superiori

Il limite in matematica

La matematica è una materia piuttosto vasta e complicata che richiede moltissimi anni per essere appresa e soprattutto capita. Non sono molte le persone che si interessano a questa materia e che sono in grado di capirla ed appassionarcisi. Per poterla...
Superiori

Come determinare l'esistenza del limite di una funzione

Il limite di una funzione rappresenta un concetto comprensibile se si conoscono i basilari concetti topologici. In questa guida vi spiego nel modo più semplice possibile come determinare l'esistenza del limite di una funzione. Come già saprete, il limite...
Superiori

Come calcolare il limite di una funzione a due variabili

L'analisi matematica presenta sempre parecchie insidie, ed ecco che appena riusciamo a capire come funzionano i limiti di funzioni a singola variabile, compare il limite di funzione a due variabili. Ma non temete, perché il limite di una funzione a due...
Superiori

Come risolvere un limite con forma indeterminata infinito/infinito

Al fine di risolvere una funzione matematica a volte è necessario risolvere uno o più limiti.In generale i limiti possono essere di: una successione, una funzione (il caso che andremo a considerare in questa trattazione), un ultrafiltro e insiemistico.Nello...
Superiori

Come calcolare il limite di una funzione composta

Uno dei problemi più affrontati in analisi matematica è quello del calcolo dei limiti. Definita una funzione ci si chiede come poterla rappresentare su di un piano cartesiano e per farlo sono necessari alcuni strumenti matematici quali: le derivate,...
Superiori

Come studiare un limite di successione

In questa guida andremo a vedere come è possibile studiare un limite di successione. Ma prima di tutto è necessario sapere cos'è una successione. Una successione reale non è nient'altro che una sequenza illimitata di numeri, si parte da un numero...
Superiori

Come calcolare il limite di una funzione

Con la seguente guida vi illustrerò come calcolare i limiti di funzioni usando limiti notevoli e teorema di De Hopital. Se vale che: f (x) e g (x) sono derivabili in un intorno di x0 (escluso il punto x0); g'(x) ≠0 nell'intorno in x0; limite di x tendente...
Superiori

Come risolvere un limite con il polinomio di Taylor

In matematica il come arrivare ad una soluzione sono uguali ma l'importante è trovare quest'ultima in modo corretto. Quando ci troviamo davanti ad un limite indeterminato, non sempre è utile e semplice utilizzare le forme ed i teoremi più frequentemente...
I presenti contributi sono stati redatti dagli autori ivi menzionati a solo scopo informativo tramite l’utilizzo della piattaforma www.o2o.it e possono essere modificati dagli stessi in qualsiasi momento. Il sito web, www.o2o.it e Arnoldo Mondadori Editore S.p.A. (già Banzai Media S.r.l. fusa per incorporazione in Arnoldo Mondadori Editore S.p.A.), non garantiscono la veridicità, correttezza e completezza di tali contributi e, pertanto, non si assumono alcuna responsabilità in merito all’utilizzo delle informazioni ivi riportate. Per maggiori informazioni leggi il “Disclaimer »”.