Come introdurre il concetto di funzione

La conoscenza degli insiemi è un importante premessa per lo studio delle funzioni. L'insieme in matematica è, secondo definizione, una serie di oggetti che possono essere di numero finito o infinito. Esistomo diversi tipi di insiemi numerici: numeri naturali, interi, razionali, reali, i quali vengono indicati rispettivamente con le lettere maiuscole: N, Z, Q, R. La branchia della matematica chiamata analisi ha per oggetto di studio proprio questi insiemi. Vediamo ora come è possibile introdurre il concetto di funzione.

La funzione è una corrispondenza che mette in relazione, con una legge matematica, un insieme numerico con un altro insieme. In particolare data una funzione chiamata f è possibile associare ad ogni elemento x del primo insieme uno ed un solo elemento y appartenente al secondo insieme. È possibile quindi affermare che: dati due insiemi A e B con x che appartiene ad A, esisterà un solo elemento y, appartenente a B tale che y=f (x). Questa corrispondenza si dice quindi biunivoca, infatti se ad ogni x fossero associati due y non si potrebbe parlare di funzione.

L'insieme A è il dominio della funzione f e l'insieme B è il relativo codominio. Ogni funzione può essere rappresentata tramite un grafico, o in forma analitica. Per ogni elemento di A, indicato con x, vi è un elemento corrispondente in B, che insieme indicano le coordinate di un punto (x; y) che si possono rappresentare in un piano cartesiano. Le funzioni inoltre godono di varie proprietà, infatti ogni funzione può essere iniettiva, suriettiva e biettiva.

Quindi definiamo f (x) l'immagine di x tramite f e affermiamo che una funzione f dall'insieme A verso l'insieme B è iniettiva se e solo se per ogni immagine y=f (x) che appartiene a B, esiste uno e solo elemento x che appartiene ad A tale che f (x)=y. Se se ogni elemento del dominio è immagine di almeno un elemento del codominio allora una funzione è suriettiva, quindi l'immagine corrisponde al codominio. Nel caso in cui una funzione è sia iniettiva che suriettiva si dice che è biiettiva ed è quindi invertibile.

Le variabili possono essere divise in dipendenti ed indipendenti, a seconda che al variare di x cambi anche y. Inoltre si può dire che la relazione tra due variabili sia espressa in forma esplicita, come y=f (x), quando una variabile cambia al variare dell'altra. Ne caso in cui invece si esprima soltanto la relazione tra x e y, per esempio f (x, y)=0 si dice implicita. Di solito per rappresentare una funzione si fa uso di un piano cartesiano. Le due cordinate (x, y) rappresentano un punto che insieme con altre coppie messe in relazione dalla stessa funzione crea una figura che assume forme diverse in base al rapporto che vi è tra x ed y, quindi in base alla funzione.

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