Come integrare e differenziare funzioni in Matlab

Il calcolo differenziale, di funzioni semplici o composte, fa parte del bagaglio essenziale di un buon studente in matematica e richiede molta dedizione ed applicazione. Tuttavia, nonostante il nostro impegno, a volte possiamo incontrare delle difficoltà nell'integrare una funzione o avere dei dubbi nel calcolo di una derivata. Matlab è come un valido strumento di supporto: non può e non deve sostituire il nostro lavoro, ma può certamente aiutarci a differenziare il nostro apprendimento. MATLAB è usato da milioni di persone nell'industria e nelle università per via dei suoi numerosi strumenti a supporto dei più disparati campi di studio applicati e funziona su diversi sistemi operativi.

• Una versione di Matlab installata sul pc (anche una student version)
• Basi di matematica
• Conoscenza teorica di integrali e derivate

Originariamente MATLAB è stato sviluppato come ambiente interattivo per il calcolo matriarcale ad alto livello. Attualmente MATLAB è utilizzato come:
1) calcolatrice elettronica evoluta;2) ambiente grafico;3) linguaggio di programmazione.
Avere un programma con cui verificare la validità dei propri passaggi logici, delle proprie congetture e dei propri ragionamenti, è senza dubbio una grande opportunità. Inoltre, quando avremo sufficientemente studiato e ci sentiremo sicuri dell'argomento, il mero calcolo sarà ciò che potremo certamente delegare al software: in questo senso, lo strumento informatico, dà l'opportunità di ottimizzare il nostro tempo garantendoci la correttezza del risultato finale. Come vedremo a breve, il calcolo d'integrali e derivate con Matlab è abbastanza semplice.
Il workspace è lo spazio di lavoro contenente le variabili. Per visualizzare tutte le variabili si usa il comando "who" mentre con il comando "whos" si visualizzano tutte le variabili utilizzate, ma in forma estesa, cioè ci viene data la loro descrizione: nome, dimensione memoria occupata, classe e attributi.I comandi da ricordare sono "diff" e "int", utilizzati rispettivamente per derivate e integrali. Il software offre anche la possibilità di agire su funzioni a più variabili, e di calcolare sia integrali indefiniti che definiti.

Iniziamo con le derivate. Matlab utilizza una notazione matriciale che si esprime attraverso valori numerici ordinati in righe e colonne. Per cui, nel caso di una funzione continua, impostata su variabili del tipo x, y e/o z, c'è bisogno di "comunicare" a Matlab che non si tratta di numeri veri e propri, ma di funzioni. Il comando da utilizzare per questa azione è "syms", ed indica appunto che si sta effettuando un calcolo simbolico.
Si tenga presente che MATLAB memorizza tutte le variabili utilizzate durante la sessione di lavoro e quindi si rischia facilmente di saturare la memoria disponibile. In tal caso compare il messaggio "out of memory".
Prima di procedere dovrai scrivere nella command window, o nell' M-file, la parola "syms" seguita dalle variabili che compaiono nella funzione che vuoi derivare/integrare. Ad esempio:
syms x y z.

Ora, dopo aver premuto invio e quindi cambiato riga, potrai scrivere la tua funzione. Supponiamo che sia y=sin (x) - 4*x; Ciò che apparirà sarà:
>> syms x y
>> y=sin (x) - 4*x;
Il punto e virgola alla fine dell'espressione serve a non far riapparire la medesima espressione.
A questo punto ti basterà digitare diff(y) e apparirà il calcolo della derivata. Nel nostro caso sarà
ans = cos (x) - 4
Nel caso in cui la funzione abbia tre variabili (x, y, z), puoi decidere rispetto a quale di queste derivare la funzione; così diff (y, x) deriverà la funzione rispetto ad x, mentre diff (y, z) la deriverà rispetto a z.
Ricorda che in questo caso dovrai dichiarare anche la z come variabile simbolica.

MATLAB crea automaticamente le variabili nel momento in cui vengono definite come termini alla sinistra di una uguaglianza. In mancanza di ciò, MATLAB crea la variabile "ans" che sta per "answer". I nomi delle variabili possono essere lunghi al massimo 19 caratteri.
Per il calcolo degli integrali il comando è "int". Dopo aver dichiarato le variabili simboliche (come per la derivata) e aver scritto la tua funzione, ti basterà digitare int (y) per ottenere il calcolo dell'integrale. Ad esempio:
>> syms x y
>> y=x - 4;
>> int (y)
ans = (x^2)/2 - 4x
In questo caso l'integrale è indefinito. Per calcolare un integrale definito basta porre, dopo la y nel comando "int", i due valori tra i quali si vuole calcolare l'integrale.
Ad esempio:
int (y,0,2)
L'integrale verrà calcolato tra i valori 0 e 2 e il risultato, ovviamente, rappresenterà il numero che quantifica l'area sottesa dalla curva.

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