Come Fare un corretto studio di funzione

Questo tutorial vi spiegheremo come dover affrontare uno studio corretto di funzione, in modo generico. I calcoli ed i parametri vanno infatti adattati volta per volta a quello che chiede l'esercizio. È un procedimento che cambia dal tipo di equazione che si presenterà, però le linee basilari per affrontare l'esercizio sono identiche per tutti gli esercizi. Proseguite a leggere in seguito e capirete come fare. Buona lettura e buon lavoro!

• Buona memoria

Per una funzione logaritmica, dove la formula è la seguente: f (x) = log (g (x)) occorre mettere g (x)>0. Per una funzione radice invece avremo come definizione la seguente: f (x) = g (x)^1/n [ ^1/n, che indicherà radice n-esima di g (x) ] di indice pari e la dovrete mettere maggiore o uguale a zero, invece per una radice di indice dispari il dominio è tutto "R";
Le funzioni trigonometriche hanno casi particolari notevoli, che non tratteremo in seguito. Per tutte le altre funzioni il C. E. è tutto "R".
La prima cosa che dovrete fare è quella di determinare l'insieme di definizione e cioè citato con questa sigla I. D. O C. E. O dominio. Per una funzione fratta avrete tale formula: f (x) = g (x) / h (x), dove il dominio sarà tutto "R" escluso il valore di "x" che azzera il denominatore. In soldoni dovrete mettere porre il denominatore diverso da zero.

Occorrerà successivamente esaminare se la funzione ha qualche simmetria, cioè se la funzione è pari, dove la formula sarà: f (-x) = f (x). Funzione dispari che sarà: f (-x) = -f (x), oppure funzione periodica (f (x+T) = f (x), per ciascun caso "x" appartenga ad "R". Se, avrete le caratteristiche sopraelencate, dovrete verificare esattamente l'uguaglianza di ciascuna equazione, e la funzione f (x) data godrà delle caratteristiche corrispettive.

Adesso sarà bene trovare le intersezioni con gli assi. Prima di tutto dovrete trovare le intersezioni con l'asse delle ascisse, perciò dovrete porre f (x)=0. Potrete verificare però che per f (x)= 0: l'equazione della funzione non abbia soluzioni e perciò non avrà intersezioni con l'asse delle x; l'equazione della funzione abbia un numero finito di soluzioni e quindi un numero finito di intersezioni; e per finire l'equazione della funzione abbia un numero infinito di soluzioni e perciò un numero infinito di intersezioni.

Ora dovrete invece calcolare l'intersezione della funzione con l'asse delle ordinate. Dovrete mettere perciò x=0 se, e soltanto se, x=0 appartiene al dominio della funzione, ricavando in tal modo il punto di intersezione. Successivamente dovrete andare a determinare se esistono asintoti verticali oppure orizzontali. Calcolate quindi il limite per "x" tendente a più o meno infinito potrete trovare l'asintoto orizzontale, che se è presente, è finito ed appartiene a "R". Per calcolare l'asintoto verticale dovrete prendere i valori esclusi dalle C. E., calcolando il limite destro e sinistro di ognuno di loro. Se il limite tende all'infinito, questo vuol dire che tale valore è un asintoto della funzione.

Ora dovrete determinare gli intervalli entro dove la funzione sarà decrescente o crescente, ed anche i punto di minimo o massimo relativo, studiando il segno della derivata prima della funzione. Derivate la funzione, e dovrete ottenere in questo modo f'(x). Per calcolare crescenza e decrescenza mettete f'(x)0. Negli intervalli determinati dalle soluzioni delle rispettive disequazioni la funzione sarà decrescente e crescente. Per fare il calcolo dei punti stazionari, che sono massimi, flessi e minimi, mettete la derivata prima f'(x) uguale a zero. Se a destra e a sinistra del punto stazionario f'(x) avete il segno uguale, il punto allora sarà contraddistinto da un flesso. Se a sinistra del punto la derivata prima sarà negativa ed a destra positiva il punto sarà un minimo. Contrariamente se sarà un massimo, dovrete sostituire i valori trovati per "x" nell'equazione della funzione, trovando le coordinate dei punti.