Come Fare un corretto studio di funzione

Tramite: O2O 19/08/2017
Difficoltà: media
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Introduzione

Questo tutorial vi spiegheremo come dover affrontare uno studio corretto di funzione, in modo generico. I calcoli ed i parametri vanno infatti adattati volta per volta a quello che chiede l'esercizio. È un procedimento che cambia dal tipo di equazione che si presenterà, però le linee basilari per affrontare l'esercizio sono identiche per tutti gli esercizi. Proseguite a leggere in seguito e capirete come fare. Buona lettura e buon lavoro!

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Occorrente

  • Buona memoria
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Determinare l'insieme di definizione

Per una funzione logaritmica, dove la formula è la seguente: f (x) = log (g (x)) occorre mettere g (x)>0. Per una funzione radice invece avremo come definizione la seguente: f (x) = g (x)^1/n [ ^1/n, che indicherà radice n-esima di g (x) ] di indice pari e la dovrete mettere maggiore o uguale a zero, invece per una radice di indice dispari il dominio è tutto "R";
Le funzioni trigonometriche hanno casi particolari notevoli, che non tratteremo in seguito. Per tutte le altre funzioni il C. E. è tutto "R".
La prima cosa che dovrete fare è quella di determinare l'insieme di definizione e cioè citato con questa sigla I. D. O C. E. O dominio. Per una funzione fratta avrete tale formula: f (x) = g (x) / h (x), dove il dominio sarà tutto "R" escluso il valore di "x" che azzera il denominatore. In soldoni dovrete mettere porre il denominatore diverso da zero.

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Esaminate se la funzione ha qualche simmetria

Occorrerà successivamente esaminare se la funzione ha qualche simmetria, cioè se la funzione è pari, dove la formula sarà: f (-x) = f (x). Funzione dispari che sarà: f (-x) = -f (x), oppure funzione periodica (f (x+T) = f (x), per ciascun caso "x" appartenga ad "R". Se, avrete le caratteristiche sopraelencate, dovrete verificare esattamente l'uguaglianza di ciascuna equazione, e la funzione f (x) data godrà delle caratteristiche corrispettive.

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Trovare le intersezioni con gli assi

Adesso sarà bene trovare le intersezioni con gli assi. Prima di tutto dovrete trovare le intersezioni con l'asse delle ascisse, perciò dovrete porre f (x)=0. Potrete verificare però che per f (x)= 0: l'equazione della funzione non abbia soluzioni e perciò non avrà intersezioni con l'asse delle x; l'equazione della funzione abbia un numero finito di soluzioni e quindi un numero finito di intersezioni; e per finire l'equazione della funzione abbia un numero infinito di soluzioni e perciò un numero infinito di intersezioni.

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Calcolarte l'intersezione della funzione con l'asse delle ordinate

Ora dovrete invece calcolare l'intersezione della funzione con l'asse delle ordinate. Dovrete mettere perciò x=0 se, e soltanto se, x=0 appartiene al dominio della funzione, ricavando in tal modo il punto di intersezione. Successivamente dovrete andare a determinare se esistono asintoti verticali oppure orizzontali. Calcolate quindi il limite per "x" tendente a più o meno infinito potrete trovare l'asintoto orizzontale, che se è presente, è finito ed appartiene a "R". Per calcolare l'asintoto verticale dovrete prendere i valori esclusi dalle C. E., calcolando il limite destro e sinistro di ognuno di loro. Se il limite tende all'infinito, questo vuol dire che tale valore è un asintoto della funzione.

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Determinare gli intervalli entro dove la funzione sarà decrescente o crescente

Ora dovrete determinare gli intervalli entro dove la funzione sarà decrescente o crescente, ed anche i punto di minimo o massimo relativo, studiando il segno della derivata prima della funzione. Derivate la funzione, e dovrete ottenere in questo modo f'(x). Per calcolare crescenza e decrescenza mettete f'(x)0. Negli intervalli determinati dalle soluzioni delle rispettive disequazioni la funzione sarà decrescente e crescente. Per fare il calcolo dei punti stazionari, che sono massimi, flessi e minimi, mettete la derivata prima f'(x) uguale a zero. Se a destra e a sinistra del punto stazionario f'(x) avete il segno uguale, il punto allora sarà contraddistinto da un flesso. Se a sinistra del punto la derivata prima sarà negativa ed a destra positiva il punto sarà un minimo. Contrariamente se sarà un massimo, dovrete sostituire i valori trovati per "x" nell'equazione della funzione, trovando le coordinate dei punti.

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