Come fare per ortogonalizzare ed ortonormalizzare una base

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

In questo tutorial di oggi vi spiegheremo come fare per ortogonalizzare ed ortonormalizzare una base. Tratteremo questo argomento di Geometria analitica che va capita molto bene. Tutte le persone che si sono trovate davanti a studi universitari, oppure scuole superiori in campo matematico, oppure anche in campo tecnico, senz'altro si saranno imbattuti nella risoluzione di sistemi di matrici o matrici semplici. Durante lo studio delle Matrici, in Geometria analitica appunto, in maniera specifica, è molto ricorrente dover ortonormalizzare e ortogonalizzare una base, internamente ad un esercizio. Ecco che in seguito potrete leggere il procedimento che dovrete utilizzare. Buona lettura e buono studio!

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A questo punto, per riuscire a ortogonalizzare tutti gli altri vettori con successo, occorrerà reiterare il discorso fatto nel passo primo, e cioè per ortogonalizzare il vettore "w", occorrerà rifarvi alla formula in precedenza, usando questa formula determinata: W-1 = w - proiezione di w su u - proiezione di "w" su "v". Proiezione di "w" su "u" = [w scalare u ] x (u). Proiezione di "w" su "v" = [w scalare v ] x (v). Una volta che avrete fatto questo, tutti i vettori presenti saranno stati ortogonalizzati senza imbattersi in errori.
Occorrerà anzi stare veramente molto attenti, anche a tutti i calcoli che faremo e che spesso, presi dalla distrazione e dalla fretta, si potrà capitare di fare errori.
Realmente, conoscendo a priori la formula apposita ed i passaggi, non sarà molto difficile venire a capo dell'esercizio con successo.
Ortogonalizzare una base vuol dire partire da una base iniziale determinata (che ci dovrebbe dare la traccia), arrivando a costruire le componenti ortogonali dei vettori rispetto ad un vettore principale della base che noi scegliamo.

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Vi facciamo subito un esempio molto comune. La base ha tre vettori che chiamiamo "u", "v" e "w". A questo punto dovrete scegliere un vettore, che è quello che vi permetterà di fare meno calcoli. Siccome "u" è il vettore primo, dovrete costruire la componente ortogonale di "v" rispetto ad "u", mediante la formula che seguirà subito, e cioè: V-1 = v - proiezione di "u" su "v". La proiezione di "u" su "v", è praticamente la formula: [v scalare u ] x (u). Il vettore risultante sarà quindi ortogonalizzato.

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L'ortonormalizzazione si rifà per quanto concerne il procedimento, all'ortogonalizzazione: prendendo sempre come esempio i nostri tre vettori "u", "v" e "w". Adesso dovrete costruire i vettori ortonormali a seconda di uno dei tre vettori: se scegliete ad esempio "u", la prima cosa che dovrete fare è quella di dividerlo per la sua norma: (u) \ |u|. La norma è la radice della somma del quadrato di tutte le componenti del vettore. Fatto ciò userete il vettore risultante per come voleste ortogonalizzare i vettori, utilizzando perciò le stesse formule in precedenza, soltanto che questa volta, il vettore ortogonalizzato lo dovrete dividere per la norma del vettore non ancora ortogonalizzato.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Il consiglio è sempre quello di procedere con calma senza saltare passaggi, anche se questi a una prima occhiata ci appaiono semplici, poichè è spesso facile cadere in inganno e pregiudicare l'intero esercizio.
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