Come fare le moltiplicazioni con le frazioni

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Introduzione

Una frazione è un numero che fa parte dell'insieme dei numeri razionali (che si indica con la letter maiuscola dell'alfabeto Q): questi numeri indicano in quante parti è diviso un intero (ad esempio un mezzo, due terzi, otto quinti, nove decimi). Esso indica, inoltre, un quoziente tra due numeri interi. Le frazioni sono composte da un numero che viene definito numeratore e da un secondo numero, chiamato denominatore: il numeratore rappresenta la quantità presa in considerazione dell'intero (cioè il numero che sta sopra); il denominatore indica in quante parti è stato diviso l'intero (ed è il numero che sta sotto, nella frazione). Essendo le frazioni dei numeri è possibile effettuare tutte le operazioni matematica basilari, quindi: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione ed anche l'elevazione a potenza. Noi considereremo le moltiplicazioni. Le moltiplicazioni sono un'operazione matematica basilare: il risultato di una moltiplicazione è chiamato prodotto mentre i numeri considerati vengono chiamati fattori. In questa semplice, ma altrettanto utile, guida vi illustrerò passo per passo come fare le moltiplicazioni con le frazioni.

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In una moltiplicazione tra due o più frazioni, il primo passo è quello di ridurre ai minimi termini entrambe le frazioni per poter rendere molto più semplice il calcolo. Ridurre ai minimi termini una frazione in poche parole significa nel rendere numeratore e denominatore primi tra di loro (cioè che hanno come unico fattore comune 1). In figura è presente una semplice moltiplicazione tra frazioni: nella prima frazione (14/49) il fattore comune è 7, quindi si è ridotta la frazione ai minimi termini dividendo entrambi, numeratore e denominatore, per 7 ottenendo la frazione equivalente 2/7. Si è ripetuta l'operazione anche per la seconda frazione, in cui il fattore comune è 3: in questo caso la frazione equivalente è 13/9.

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La riduzione ai minimi termini può avvenire anche tra il numeratore della prima frazione e il denominatore della seconda frazione, se hanno dei divisori comuni. In questo caso, bisogna fare il "prodotto incrociato" tra i due, semplificando i due termini. In figura è presente un esempio di riduzione ai minimi termini di questo tipo: tra il numeratore della prima frazione (14) e il denominatore della seconda frazione (49), il fattore comune è il numero 7, perciò si deve dividere ambi i termini entrambi per questo numero. Analogamente per il numeratore della seconda frazione (13) e il denominatore della prima frazione (39), in cui il fattore comune è il 13. Svolgendo in questa maniera l'operazione, si è semplificata la stessa, ottenendo le frazioni equivalenti, che risultano essere: 2/3 e 1.

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Quando le frazioni sono state ridotte con successo ai minimi termini, è necessario moltiplicare i numeratori delle due frazioni e, rispettivamente i due denominatori: questo metodo consente di poter individuare un'unica frazione (ovvero il prodotto tra le due). Se consideriamo l'esempio utilizzato nel passo 1, sappiamo allora che il prodotto delle due frazioni ha per numeratore il prodotto tra i numeratori 2 e 13 e come denominatore abbiamo il prodotto tra i denominatori 7 e 9.

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Un'eccezione che fa da caso particolare a quest'operazione è quello della moltiplicazione tra un intero e una frazione. In questo specifico caso, bisogna procedere riducendo ai minimi termini l'intero e il denominatore della frazione, se ciò è possibile. Dopodiché, si deve moltiplicare il numero intero con il numeratore della frazione. Nell'esempio mostrato nell'immagine vediamo che il numero intero 12 è stato semplificato con il denominatore 9, ottenendo come intero 4 e al denominatore della frazione 3. La moltiplicazione avviene esattamente come mostrato nel terzo passo di questa guida, procedendo con le stesse semplici regole.

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