Come fare il prodotto scalare tra vettori

In base alla materia oppure al contesto che state studiando, il prodotto scalare potrà andare a definire nozioni diverse. Possiamo dire che il prodotto vettoriale è un'operazione binaria. Questo significa che per essere sviluppato ha bisogno di due elementi. Questi elementi sono appunto due vettori, quindi due elementi appartenenti ad uno spazio vettoriale di qualsiasi dimensione, nel mondo reale possiamo trattare spazi vettoriali a due e tre dimensioni rispettivamente che ci interessi agire nel piano o nello spazio.In maniera intuitiva possiamo immaginare il prodotto scalare di due vettori come la proiezione ortogonale di un vettore sull'altro, questo ci rende molto più intuitivo cosa sta accadendo e non è errato pensarlo, in quanto, questa, risulta essere l'interpretazione geometrica del prodotto scalare. Adesso andiamo a capire meglio di cosa stiamo parlando e cosa dobbiamo fare.

Il prodotto scalare gode di alcune proprietà che ci serviranno per capire veramente cosa andiamo a fare.Per chiarezza scriverò il prodotto scalare con il punto "." .Poiché stiamo affrontando probabilmente per la prima volta questo argomento tratterò il prodotto scalare euclideo.
1) Il prodotto scalare è BILINEARE:Dati tre vettori a, b, c ed un numero scalare x; a·(b+c)=a·b+a·c ; a·(xb)=x(a·b); (a+b)·c=a·c+b·c; (xa)·b=x(a·b)Le prime due espressioni mi dicono che la linearità è a destra e le seconde due che è a sinistra.
2) Il prodotto scalare di un vettore per se stesso è sempre maggiore o uguale a zero: prendiamo sempre il nostro vettore a; a·a=|a|²=>0 questo significa anche che quindi il prodotto scalare è uguale a zero se e solo se il vettore è uguale a 0


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Per fare il prodotto vettoriale abbiamo inizialmente bisogno di due vettori, a, b;adesso che li abbiamo e li abbiamo disegnati su di un foglio dobbiamo spostarli in modo da avere i due vettori che "partono" dallo stesso punto. Ciò significa che le code dei due vettori devono appartenere allo stesso punto.Andiamo a considerare l'angolo che esiste tra i due vettori.Per le proprietà e la definizione di prodotto vettoriale, possiamo notare che:a·b=a*b*cos?, dove con ? abbiamo indicato l'angolo compreso tra i due vettori.Questo numero che noi otteniamo adesso è un numero puro appartenente ai numeri reali, uno SCALARE, per questo si parla di prodotto scalare.
Nel caso avessimo più di due vettori?Adesso possiamo rileggere le proprietà che ho scritto sopra e notare che se i vettori sono 3 otterremo un vettore, mentre se sono 4 otterremo di nuovo un valore scalare, questo significa che se il numero di vettori che andiamo a moltiplicare scalarmente è dispari il risultato sarà un vettore, mentre se il numero di vettori che andiamo a moltiplicare è pari il risultato sarà di nuovo uno scalare, questo accade perché il prodotto scalare si effettua per due vettori alla volta.Ragionandoci sopra sarà intuitivo capire che per esempio avendo 3 vettori a, b, c e moltiplicando per esempio i primi due tra di loro otterremo un valore scalare; a questo punto moltiplicando lo scalare per il vettore c, che è l'ultimo rimasto otterremo non uno scalare nuovamente ma un vettore che ha le stesse proprietà del vettore c ma di modulo diverso, più precisamente il suo modulo non sarà più quello iniziale di c ma quello che abbiamo ottenuto dal prodotto scalare dei primi due vettori, ovvero, a*b*cos?*c, questo non è infatti un prodotto scalare ma un prodotto di un vettore per uno scalare, questa operazione quindi (prodotto di un vettore per uno scalare) è diversa dal prodotto scalare ed è necessario capire la differenza per non incorrere nell'errore di scambiarli fra di loro, data la nomenclatura molto simile.Adesso analizziamo il caso di 4 vettori.Questi adesso possono essere moltiplicati a due a due come abbiamo fatto fino ad adesso per poi essere moltiplicati fra di loro ed ottenere un numero scalare.

Facciamo un breve riassunto per capire meglio tutto ciò che abbiamo detto.
Come approcciarsi al prodotto scalare?Per prima cosa prendiamo i vettori che ci sono stati dati o che comunque ci interessano, analizziamoli e portiamo le loro code a coincidere.A questo punto dobbiamo contare quanti sono per verificare che il loro prodotto sia un vettore o uno scalare.Da quello che abbiamo appena detto sappiamo con certezza che il risultato dovrà essere uno scalare altrimenti non ci stiamo occupando solamente di prodotto scalare. I vettori dovranno necessariamente essere in numero pari.Adesso cerchiamo di capire se ci interessa la loro visualizzazione grafica o solamente il numero che restituisce l'operazione, nel caso grafico il consiglio è di essere accurati, cercando di non scordarsi le regole delle proiezioni ortogonali.Se invece ci interessa solamente il numero possiamo applicare la formula scritta sopra ed ottenere il numero reale che l'operazione ci restituisce.
Buon divertimento!

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