Per fare il prodotto vettoriale abbiamo inizialmente bisogno di due vettori, a, b;adesso che li abbiamo e li abbiamo disegnati su di un foglio dobbiamo spostarli in modo da avere i due vettori che "partono" dallo stesso punto. Ciò significa che le code dei due vettori devono appartenere allo stesso punto.Andiamo a considerare l'angolo che esiste tra i due vettori.Per le proprietà e la definizione di prodotto vettoriale, possiamo notare che:a·b=a*b*cos?, dove con ? abbiamo indicato l'angolo compreso tra i due vettori.Questo numero che noi otteniamo adesso è un numero puro appartenente ai numeri reali, uno SCALARE, per questo si parla di prodotto scalare.
Nel caso avessimo più di due vettori?Adesso possiamo rileggere le proprietà che ho scritto sopra e notare che se i vettori sono 3 otterremo un vettore, mentre se sono 4 otterremo di nuovo un valore scalare, questo significa che se il numero di vettori che andiamo a moltiplicare scalarmente è dispari il risultato sarà un vettore, mentre se il numero di vettori che andiamo a moltiplicare è pari il risultato sarà di nuovo uno scalare, questo accade perché il prodotto scalare si effettua per due vettori alla volta.Ragionandoci sopra sarà intuitivo capire che per esempio avendo 3 vettori a, b, c e moltiplicando per esempio i primi due tra di loro otterremo un valore scalare; a questo punto moltiplicando lo scalare per il vettore c, che è l'ultimo rimasto otterremo non uno scalare nuovamente ma un vettore che ha le stesse proprietà del vettore c ma di modulo diverso, più precisamente il suo modulo non sarà più quello iniziale di c ma quello che abbiamo ottenuto dal prodotto scalare dei primi due vettori, ovvero, a*b*cos?*c, questo non è infatti un prodotto scalare ma un prodotto di un vettore per uno scalare, questa operazione quindi (prodotto di un vettore per uno scalare) è diversa dal prodotto scalare ed è necessario capire la differenza per non incorrere nell'errore di scambiarli fra di loro, data la nomenclatura molto simile.Adesso analizziamo il caso di 4 vettori.Questi adesso possono essere moltiplicati a due a due come abbiamo fatto fino ad adesso per poi essere moltiplicati fra di loro ed ottenere un numero scalare.