Come fare il prodotto scalare tra vettori

In base alla materia oppure al contesto che state studiando, il prodotto scalare potrà andare a definire nozioni diverse. A questo proposito, mediante i passaggi seguenti di questo tutorial, ci andremo ad occupare di illustrarvi tutti i passaggi che occorreranno per capire come poter fare tale operazione in modo facile e specialmente corretto. In tutti i modi, trattasi di un'operazione che prevede la presenza di due vettori di qualsiasi spazio, associando uno scalare, cioè un numero. Buona lettura e buon lavoro!

Per semplificare nettamente questa operazione dovrete prendere in considerazione due vettori del piano, cioè quei dati contestualizzati da due sole componenti. Questo poiché il ragionamento che potrete fare resta immutato per un numero qualsiasi di componenti. Generalmente, quindi, potremo dire che per poter eseguire il prodotto scalare tra due vettori qualsiasi, sarà sufficiente andare a sommare i prodotti delle coordinate omologhe dei due vettori, indipendentemente dal numero delle componenti dei vettori assegnati. Dovrete chiamare quindi i vettori: "a"= (x1, y1) e "b"=(x2, y2), dove x1, y1, x2, y2 rappresentano le componenti relative dei vettori. Il prodotto scalare tra i due vettori assegnati dovrà essere indicato con "axb", e lo dovrete fare nel modo seguente, cioè axb=(x1x2) (y1y2).

Adesso vi indichiamo un altro modo per eseguire il prodotto scalare tra due vettori. Esso consiste in un metodo maggiormente geometrico. Dovrete assegnare prima di tutto innanzitutto, due vettori "a" e "b" (sempre del piano) e dovrete considerare la loro rappresentazione geometrica come vettori veri e propri, anche se non sono applicati nel punto stesso. Li dovrete spostare mentalmente in modo rigido, e più precisamente nello spazio fino a farli risultare applicati nel punto stesso. Così facendo, il prodotto scalare tra i due vettori assegnati si effettuerà perciò nel seguente modo: "axb"=|a||b|cos§, dove: |a| e |b| rappresentano i moduli dei vettori assegnati, cioè le loro lunghezze, che dovrete chiaramente andare a calcolare. Rappresentate perciò il coseno dell'angolo compreso tra i due vettori e mettete gli stessi esattamente al punto stesso.

L'immagine che avremo rappresentato nel passo precedente è praticamente la proiezione del vettore "b" sul vettore "a". Il prodotto scalare, di conseguenza, è quindi il prodotto tra le lunghezze della proiezione citata precedentemente e del vettore "a". In tutto questo potrete anche invertire i ruoli di "a" e "b" poi, potrete inoltre notare che il risultato ottenuto sarà sempre lo stesso. Come conclusione, potremo dire che il prodotto scalare tra due vettori risulterà sempre essere perciò il prodotto tra le lunghezze della proiezione di un vettore, e la lunghezza dell'altro.

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