Come eseguire operazioni nel sistema binario

La matematica è una materia che a scuola ci spaventa sempre un po'. Quando viene impiegata nella vita di tutti i giorni, invece, diventa davvero affascinante. I numeri fanno parte della nostra quotidianità, inutile negarlo. Tra l'alro ce li ritroviamo in informatica, poiché i nostri computer funzionano grazie a formule matematiche, algoritmi e sistemi numerici. Il codice utilizzato per i computer è quello binario. Esso si basa sulla si basa sulla rappresentazione in base due dei numeri che normalmente utilizziamo. Di conseguenza le uniche due cifre utilizzate sono lo 0 e l'1. Se ricorriamo ad alcuni meccansmi di natura aritmetica, riusciamo persino a eseguire le normali operazioni impiegate nel sistema metrico decimale. Andiamo dunque a scoprire come eseguire operazioni nel sistema binario con l'aiuto di un piccolo tutorial sull'argomento. I suggerimenti contenuti nei vari passi ci consentiranno di prendere confidenza con questa tipologia di calcolo numerico.

• Foglio
• Penna
• Buona dimestichezza nelle operazioni algebriche

Prima di eseguire operazioni con il sistema binario, dobbiamo capire bene di cosa si tratta. Andiamo a conoscere la principali caratteristiche di questo codice alternativo al sistema metrico decimale. In primo luogo diciamo che il sistema binario comprende soltanto due cifre, ossia 0 e 1. Il sistema metrico decimale, invce si avvale di un kit più vasto, costituito da cifre che vanno da 0 a 9. L'uso di due cifre nel sistema binario si deve al fatto che i computer capiscono solo due comandi, ossia "Non c'è corrente" (quindi 0) e "C'è corrente" (quindi 1). Grazie all'uso di queste due cifre, possiamo rappresentare numeri, immagini, video, suoni e qualsiasi altra informazione di natura digitale. Il computer converte tutti i video, parole, immagini dal sistema decimale in quello binario, per poi eseguire i calcoli. I risultati di tali calcoli vengono a loro volta convertiti dal sistema binario a quello decimale. Pertanto, per eseguire operazioni nel sistema binario, secglieremo una singola incognita. Una volta individuata, dovremo spostarla nel sistema binario. Nelle operazioni in codice binario dovremo quindi sostituire l'incognita singola. Vediamo meglio come fare con un esempio per ciascun tipo di operazione matematica.

Iniziamo a vedere come eseguire operazioni nel sistema binario con l'addizione. La somma in codice binario non subisce variazioni, indipendentemente dalla base che utilizziamo. In base 2 abbiamo soltanto 4 somme da ricordare, ossia 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1 e 1+1=0 con riporto di 1. Se non abbiamo mai svolto calcoli in sistema binario, fermiamoci alle basi e memorizziamo queste 4 regole. Le sfrutteremo per svolgere addizioni tra numeri binari, come ad esempio 10011 e 10001. Proviamo ad eseguire questa operazione. Inanzitutto andiamo ad incolonnare i due numeri in questione. Otterremo uno schema come questo:

10011+
10001=

Ora, troviamo il risultato facendo la somma di ogni cifra secondo le 4 regole sopracitate. Si parte dall'ultimo 1, quindi avremo 1+1=0 con riporto di 1. Proseguiamo con 1+0=1, ma dobbiamo includere il riporto di 1 precedente. Andiamo avanti con 0+0=0 e aggiungiamo il riporto di 1 di prima. Poi di nuovo 0+0=0 e infine 1+1=0 con riporto di 1. Da tutto ciò deriva il seguente schema:

1 11
10011+
10001=
100100

Ne deduciamo dunque che 10011+10001=100100.

Poi potremo andare avanti con la sottrazione. In questo caso sfrutteremo il riporto per prendere in prestito l'1 nel momento in cui lo sottrarremo da 0. Le operazioni da ricordare per la sottrazione sono quindi 0-0=0, 1-1=0, 1-0=1 e 0-1=1 con prestito di 1. Anche in questo caso faremo un esempio per avere un'idea più chiara su questa regola. Supponiamo di effettuare la sottrazione 11101-1110. Scriveremo uno schema analogo a quello utilizzato poc'anzi con la somma, quindi avremo

11101-
1110=

Seguiamo la regola, sempre partendo dalle cifre sulla destra. Dovremo quindi calcolare 1-0=1. Passiamo alle cifre successive. Qui dobbiamo usare il prestito dell'1, poiché 0-1=1 con prestito di 1 dalla terza cifra a partire da destra. Proseguiamo quindi con un'altra sottrazione identica, quindi, di nuovo 0-1=1 con prestito di 1. Calcoliamo ancora 0-1=1 con prestito di 1. Con quest'ultimo prestito, la cifra del quinto gruppo è pari a 0, pertanto avremo il seguente schema:

222
11101-
1110=
01111

A questo punto possiamo dire che 11101-1110=1111.

Al momento di eseguire operazioni nel sistema binario, incontriamo davvero pochissime difficoltà con le moltiplicazioni. Innanzitutto, come abbiamo già visto per addizioni e sottrazioni, memorizziamo le 4 principali formule che sono 0x0=0, 0x1=0, 1x0=0 e 1x1=1. Fino a qui tutto a posto, perché non dobbiamo ricorrere a riporti o prestiti. Ma vediamo con un esempio pratico cosa succede. Dobbiamo calcolare la seguente moltiplicazione, 111x101. Ripetiamo il solito schema e avremo

111x
101=

Seguendo le formule presenti in questo passaggio, dovremmo teoricamente calcolare 1x1=1, 1x0=0 e 1x1=1. Ma non possiamo di certo fermarci qui. RIcordiamoci che la moltiplicazione si comporta alla stessa maniera sia nel sistema metrico decimale che in quello binario. Dovremo quindi ricavare dapprima dei prodotti parziali. Unendoli, avremo il risultato finale. Scrivendo lo schema di questa moltiplicazione, otterremo

111x
101=
111
000
111
11
100011
Le due cifre prima del risultato finale sono i riporti di 1, poiché dobbiamo sommare tra loro i prodotti parziali 111, 000 e 111. Possiamo pertanto dire che 111x101=100011.

Terminiamo analizzando le divisioni in codice binario. Che sono le operazioni più difficoltose. Lo sono anche nel sistema metrico decimale, quindi in questo caso è meglio considerare i vari passaggi più che le 4 formule standard. Pertanto dovremo procedere in un certo modo, per evitare errori. Supponiamo di svolgere la divisione 10010:10. Innanzitutto, incolonniamo i numeri seguendo il classico schema della divisione, quello con la linea verticale che separa il dividendo dal divisore e quella orizzontale che intercorre tra il divisore e il quoziente. Abbassiamo le prime due cifre di 10010, quindi 10. Dividendo tale numero per 10, otterremo come risultato 1. Moltiplichiamo quest'ultimo per 10 e scriviamo il risultato sotto alle prime due cifre da sinistra di 10010. Avremo quindi 10. Sottraiamolo al 10 del dividendo e otterremo 0 come risultato. Questo numero va scritto sotto alla terza cifra del dividendo, quindi sotto al secondo 0. Moltiplichiamo 0 per il divisore, che è 10. Il risultato sarà 0 e andrà riportato sotto al fattore. Andiamo avanti fino a terminare le cifre da dividere. Se abbiamo effettuato tutti i calcoli correttamente, arriveremo a dire che 10010:10=1001 con resto di 0. Come possiamo ben vedere, eseguire operazioni nel sistema binario è anche divertente una volta compresi i meccanismi. Di certo non è facile, ma con un po' di pazienza riusciremo a svolgere tanti esercizi.

• Quando si hanno dei dubbi sul risultato può essere utile convertire il numero da binario a decimale.
• L'uso della calcolatrice per le operazioni nel sistema binario si sconsiglia. In questo caso è molto meglio tenere la mente allenata.

• Esercizi sulle operazioni aritmetiche nel sistema binario
• Operazioni con i numeri binari
• Le operazioni elementari e il sistema binario

• Come convertire un numero binario in esadecimale
• Come passare dal sistema numerico decimale al binario