Come Eseguire Il Prodotto Vettoriale

Per prodotto vettoriale si intende un'operazione tra due vettori che avviene nello spazio tridimensionale: si tratta di un concetto di fondamentale importanza, che ogni studente di matematica e fisica deve conoscere alla perfezione. Questa guida ha lo scopo di mostrare quanto sia semplice e utile conoscere questa operazione, ritenuta fondamentale in campi come la fisica, la geometria o l'algebra lineare. Ecco, allora, che attraverso dei passaggi semplici da seguire vi illustreremo un modo per capire come bisogna procedere per eseguire il prodotto vettoriale. Prima di iniziare vi ricordiamo che per comprendere e applicare tale operazione nella maniera corretta è comunque necessario possedere delle solide basi di matematica e geometria.

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• Penna

Prima di vedere come effettivamente svolgere questo tipo di operazione, è necessario conoscere qualcosa in più sul prodotto vettoriale, così da evitare di eseguire delle operazioni inutili o che, inevitabilmente, non porterebbero ad alcun risultato. Si tratta di un'operazione matematica che a due vettori dati nello spazio tridimensionale ne associa un terzo, ad essi perpendicolare. Rappresentare questo tipo di operazione è molto difficile e per questo motivo occorre astrarre. Per cominciare, dati due vettori, che potete chiamare a e b, il vettore risultante dal prodotto vettoriale a x b è così definito: se i fattori a e b sono paralleli tra loro, allora il prodotto vettoriale risulta essere il vettore nullo; b) nel caso in cui a e b non fossero paralleli, il loro prodotto vettoriale b viene determinato in questo modo: il modulo a x b = a x b elevato a sin y, dove con y si indica la norma del vettore; la direzione di a x b è quella perpendicolare sia ad a che a b. Si tratta, tuttavia, di conoscenze avanzate, che ad un primo livello si rivelano superflue, tuttavia possono rivelarsi molto utili per degli studenti universitari che sono alle prese con questi concetti.

Avendo dunque due vettori, ovvero a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3), calcolare il prodotto vettoriale a moltiplicato per b significa procedere col calcolare il determinante della matrice, avente come prima riga i vettori dei tre assi (i, j, k), come seconda riga il vettore a = (a1, a2, a3) e come terza riga il vettore b = (b1, b2, b3). Alla fine dell'operazione, il risultato vhe si otterrà è il seguente: a x b = (a2*b3 - a3*b2) moltiplicato per i, più (a3*b1 - a1*b3) moltiplicato per j, più (a1*b2 - a2*b1) moltiplicato per k. Seguendo questo esempio sarà possibile operare con tutti i tipi di vettori e trovare facilmente il prodotto di due o più assi vettoriali.

A questo punto, per comprendere meglio il concetto e vederne un'applicazione pratica, vediamo insieme un esempio di prodotto vettoriale. Dati i vettori a = (1, 2, 3) e b = (1, 0, 1), per prima cosa dovrete creare la matrice, avente come prima riga (i, j, k) come seconda riga (1, 2, 3) e come terza riga (1, 0, 1). A questo punto, andate a calcolare il determinante, che si svilupperà secondo la formula scritta nel passo 2. Avrete quindi: a x b = (a2*b3 - a3*b2) i più (a3*b1 - a1*b3) j più (a1*b2 - a2*b1) k. Adesso, sostituendo i numeri alle lettere, il vettore risultante sarà quindi: a x b = (2 - 0) i più (3 - 1) j più (0 - 2) k, che se viene scritto in maniera differente è a x b = (2, 2, -2). Ecco che in pochi passaggi riuscirete a eseguire tale operazione: si tratta di un procedimento molto semplice e non avrete sicuramente difficoltà nel portarlo a termine nel modo corretto.

• Per verificare che il risultato sia corretto, si consiglia eseguire il PRODOTTO SCALARE tra il vettore a x b e i vettori di partenza. Se entrambi i prodotti scalare sono uguali a 0, allora il risultato del prodotto vettoriale dovrebbe essere corretto.