Come Eseguire Il Prodotto Vettoriale

Tramite: O2O 18/10/2018
Difficoltà:facile
17

Introduzione

Per prodotto vettoriale si intende un'operazione tra due vettori che avviene nello spazio: si tratta di un concetto di fondamentale importanza, che ogni studente di matematica e fisica deve conoscere alla perfezione. Questa guida ha lo scopo di mostrare quanto sia semplice e utile conoscere questa operazione, ritenuta fondamentale in campi come la fisica, la geometria o l'algebra lineare. Per semplicità ci dedicheremo al prodotto in tre dimensioni che è il caso più comune, ricordando però che ne esistono in versioni per sistemi di cardinalità arbitraria. Ecco, allora, che attraverso dei passaggi semplici da seguire vi illustreremo un modo per capire come bisogna procedere per eseguire il prodotto vettoriale. Prima di iniziare vi ricordiamo che per comprendere e applicare tale operazione nella maniera corretta è comunque necessario possedere delle solide basi di matematica e geometria.

27

Occorrente

  • Carta
  • Penna
37

Che cos'è il prodotto vettoriale

Prima di vedere come effettivamente svolgere questo tipo di operazione, è necessario conoscere qualcosa in più sul prodotto vettoriale, così da evitare di eseguire delle operazioni inutili o che, inevitabilmente, non porterebbero ad alcun risultato. Si tratta di un'operazione matematica che a due vettori dati nello spazio tridimensionale ne associa un terzo, ad essi perpendicolare. Esiste anche il prodotto scalare fra vettori, ma non si deve assolutamente confondere le due operazioni, perché producono risultati completamente diversi. Rappresentare questo tipo di operazione è molto difficile e per questo motivo occorre astrarre. Per cominciare, dati due vettori, che potete chiamare a e b, il vettore risultante dal prodotto vettoriale a x b è così definito: se i fattori a e b sono paralleli tra loro, allora il prodotto vettoriale risulta essere il vettore nullo; b) nel caso in cui a e b non fossero paralleli, il loro prodotto vettoriale b viene determinato in questo modo: il modulo a x b = a x b elevato a sin y, dove con y si indica la norma del vettore; la direzione di a x b è quella perpendicolare sia ad a che a b. Si tratta, tuttavia, di conoscenze avanzate, che ad un primo livello si rivelano superflue, tuttavia possono rivelarsi molto utili per degli studenti universitari che sono alle prese con questi concetti.

47

Esempio teorico di calcolo

Avendo dunque due vettori, ovvero a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3), calcolare il prodotto vettoriale a moltiplicato per b significa procedere col calcolare il determinante della matrice, avente come prima riga i vettori dei tre assi (i, j, k), come seconda riga il vettore a = (a1, a2, a3) e come terza riga il vettore b = (b1, b2, b3). Alla fine dell'operazione, il risultato che si otterrà è il seguente: a x b = (a2*b3 - a3*b2) moltiplicato per i, più (a3*b1 - a1*b3) moltiplicato per j, più (a1*b2 - a2*b1) moltiplicato per k. Seguendo questo esempio sarà possibile operare con tutti i tipi di vettori e trovare facilmente il prodotto di due o più assi vettoriali. Il metodo si estende anche a matrice di cardinalità alta, per le quali però si consiglia una riduzione a blocchi o una tridiagonalizzazione, se non è possibile diagonalizzarle, perché la complessità dei calcoli diventa notevole e si rischiano errori difficilmente recuperabili.

Continua la lettura
57

Esempio pratico di calcolo

A questo punto, per comprendere meglio il concetto e vederne un'applicazione pratica, vediamo insieme un esempio di prodotto vettoriale. Dati i vettori a = (1, 2, 3) e b = (1, 0, 1), per prima cosa dovrete creare la matrice, avente come prima riga (i, j, k) come seconda riga (1, 2, 3) e come terza riga (1, 0, 1). A questo punto, andate a calcolare il determinante, che si svilupperà secondo la formula scritta nel passo 2. Avrete quindi: a x b = (a2*b3 - a3*b2) i più (a3*b1 - a1*b3) j più (a1*b2 - a2*b1) k. Adesso, sostituendo i numeri alle lettere, il vettore risultante sarà quindi: a x b = (2 - 0) i più (3 - 1) j più (0 - 2) k, che se viene scritto in maniera differente è a x b = (2, 2, -2). Ecco che in pochi passaggi riuscirete a eseguire tale operazione: si tratta di un procedimento molto semplice e non avrete sicuramente difficoltà nel portarlo a termine nel modo corretto.

67

Metodo di Sarrus

Come avrete intuito, il calcolo formale di un prodotto vettoriale non è proprio semplice. Più che altro ricordarsi tute le combinazioni può dare origine ad errori. Esiste per fortuna di chi deve effettuare di continuo i calcoli a mano, un metodo comodo, che si applica solo ai vettori in 3 dimensioni, ma che velocizza moltissimo i calcoli. Si scriva la matrice dei vettori, col a come prima colonna, b come seconda e il vettore degli assi come terza colonna. Si aggiungono poi due colonne, ripetendo la prima e la seconda. Si effettuano i prodotti fra gli elementi delle diagonali continue che vanno da sinistra in alto a destra in basso, sommandoli di volta in volta, e sottraendo poi quelli delle diagonali continue da destra in alto a sinistra in basso. Per diagonali continue si intendono le diagonali con 3 elementi. Il risultato finale è il prodotto vettoriale. Questo metodo non si può applicare a matrici di cardinalità che non sia 3.

77

Consigli

Non dimenticare mai:
  • Per verificare che il risultato sia corretto, si consiglia eseguire il PRODOTTO SCALARE tra il vettore a x b e i vettori di partenza. Se entrambi i prodotti scalare sono uguali a 0, allora il risultato del prodotto vettoriale dovrebbe essere corretto.
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

Potrebbe interessarti anche

Naviga con la tastiera

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Università e Master

Come eseguire un'apertura dell'epossido in acqua e acido

I composti di resina epossidica sono stati ampiamente accettati e il loro uso è stato esteso ad attività in cui è richiesto un polimero ad alta resistenza meccanica. Sono materiali termoindurenti che diventano duri e non fusibili sotto l'azione di agenti...
Università e Master

Teorema di Buckingham: dimostrazione

Il Teorema di Buckingham, dovuto al fisico statunitense Edgar Buckingham e detto anche teorema pi greco, è uno dei capitoli centrali della fisica. Il problema centrale della questione è trovare una relazione che leghi una grandezza fisica di una determinata...
Università e Master

Teorema di diagonalizzabilità: dimostrazione

Il teorema di diagonalizzabilità è un pilastro dell'algebra lineare che ci aiuta a dare spiegazioni di tipo pratico in altri campi dello studio moderno come la meccanica strutturale o semplicemente a chiarirci come un comportamento fisico, descritto sotto...
Università e Master

Matematica: come parametrizzare una curva

In matematica viene utilizzata la parametrizzazione nel momento in cui si desidera procedere alla semplificazione delle variabili di una curva in una sola variabile. È bene sapere che è possibile parametrizzare varie figure geometriche, come una circonferenza,...
Università e Master

Come ottenere l'acetato di cellulosa

La chimica rappresenta una materia che viene studiata durante gli anni di scuola media superiore. Per coloro che vogliono approfondire le nozioni e diventare magari chimico di professione, occorre inoltre una laurea universitaria alla Facoltà di Chimica...
Università e Master

Come determinare sperimentalmente il grado di acidità di un olio d'oliva

Quando si parla di olio extravergine di oliva molto spesso si fa riferimento alla sua acidità ed in effetti tale parametro è importante perché è un indicatore che riesce a sintetizzare una valutazione complessiva sulla qualità chimica. Il problema è che...
Università e Master

Come calcolare la covarianza utilizzando Excel

Excel è il software di Microsoft più utilizzato per eseguire vari tipi di calcoli in maniera automatizzata. Ma oltre alle operazioni di base (addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione), Excel permette di eseguire anche quelle più complesse,...
Università e Master

Come fare l'esperimento di Oersted

Il XIX secolo fu decisivo per le grandi scoperte scientifiche ed in particolare per l'elettromagnetismo. Elettricità e magnetismo rappresentavano un enorme passo avanti nella conquista del mondo. In questo lasso di tempo, nacquero diverse invenzioni con...