Come Eseguire Il Prodotto Vettoriale

Per prodotto vettoriale si intende un'operazione tra due vettori che avviene nello spazio: si tratta di un concetto di fondamentale importanza, che ogni studente di matematica e fisica deve conoscere alla perfezione. Questa guida ha lo scopo di mostrare quanto sia semplice e utile conoscere questa operazione, ritenuta fondamentale in campi come la fisica, la geometria o l'algebra lineare. Per semplicità ci dedicheremo al prodotto in tre dimensioni che è il caso più comune, ricordando però che ne esistono in versioni per sistemi di cardinalità arbitraria. Ecco, allora, che attraverso dei passaggi semplici da seguire vi illustreremo un modo per capire come bisogna procedere per eseguire il prodotto vettoriale. Prima di iniziare vi ricordiamo che per comprendere e applicare tale operazione nella maniera corretta è comunque necessario possedere delle solide basi di matematica e geometria.

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Prima di vedere come effettivamente svolgere questo tipo di operazione, è necessario conoscere qualcosa in più sul prodotto vettoriale, così da evitare di eseguire delle operazioni inutili o che, inevitabilmente, non porterebbero ad alcun risultato. Si tratta di un'operazione matematica che a due vettori dati nello spazio tridimensionale ne associa un terzo, ad essi perpendicolare. Esiste anche il prodotto scalare fra vettori, ma non si deve assolutamente confondere le due operazioni, perché producono risultati completamente diversi. Rappresentare questo tipo di operazione è molto difficile e per questo motivo occorre astrarre. Per cominciare, dati due vettori, che potete chiamare a e b, il vettore risultante dal prodotto vettoriale a x b è così definito: se i fattori a e b sono paralleli tra loro, allora il prodotto vettoriale risulta essere il vettore nullo; b) nel caso in cui a e b non fossero paralleli, il loro prodotto vettoriale b viene determinato in questo modo: il modulo a x b = a x b elevato a sin y, dove con y si indica la norma del vettore; la direzione di a x b è quella perpendicolare sia ad a che a b. Si tratta, tuttavia, di conoscenze avanzate, che ad un primo livello si rivelano superflue, tuttavia possono rivelarsi molto utili per degli studenti universitari che sono alle prese con questi concetti.

Avendo dunque due vettori, ovvero a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3), calcolare il prodotto vettoriale a moltiplicato per b significa procedere col calcolare il determinante della matrice, avente come prima riga i vettori dei tre assi (i, j, k), come seconda riga il vettore a = (a1, a2, a3) e come terza riga il vettore b = (b1, b2, b3). Alla fine dell'operazione, il risultato che si otterrà è il seguente: a x b = (a2*b3 - a3*b2) moltiplicato per i, più (a3*b1 - a1*b3) moltiplicato per j, più (a1*b2 - a2*b1) moltiplicato per k. Seguendo questo esempio sarà possibile operare con tutti i tipi di vettori e trovare facilmente il prodotto di due o più assi vettoriali. Il metodo si estende anche a matrice di cardinalità alta, per le quali però si consiglia una riduzione a blocchi o una tridiagonalizzazione, se non è possibile diagonalizzarle, perché la complessità dei calcoli diventa notevole e si rischiano errori difficilmente recuperabili.

A questo punto, per comprendere meglio il concetto e vederne un'applicazione pratica, vediamo insieme un esempio di prodotto vettoriale. Dati i vettori a = (1, 2, 3) e b = (1, 0, 1), per prima cosa dovrete creare la matrice, avente come prima riga (i, j, k) come seconda riga (1, 2, 3) e come terza riga (1, 0, 1). A questo punto, andate a calcolare il determinante, che si svilupperà secondo la formula scritta nel passo 2. Avrete quindi: a x b = (a2*b3 - a3*b2) i più (a3*b1 - a1*b3) j più (a1*b2 - a2*b1) k. Adesso, sostituendo i numeri alle lettere, il vettore risultante sarà quindi: a x b = (2 - 0) i più (3 - 1) j più (0 - 2) k, che se viene scritto in maniera differente è a x b = (2, 2, -2). Ecco che in pochi passaggi riuscirete a eseguire tale operazione: si tratta di un procedimento molto semplice e non avrete sicuramente difficoltà nel portarlo a termine nel modo corretto.

Come avrete intuito, il calcolo formale di un prodotto vettoriale non è proprio semplice. Più che altro ricordarsi tute le combinazioni può dare origine ad errori. Esiste per fortuna di chi deve effettuare di continuo i calcoli a mano, un metodo comodo, che si applica solo ai vettori in 3 dimensioni, ma che velocizza moltissimo i calcoli. Si scriva la matrice dei vettori, col a come prima colonna, b come seconda e il vettore degli assi come terza colonna. Si aggiungono poi due colonne, ripetendo la prima e la seconda. Si effettuano i prodotti fra gli elementi delle diagonali continue che vanno da sinistra in alto a destra in basso, sommandoli di volta in volta, e sottraendo poi quelli delle diagonali continue da destra in alto a sinistra in basso. Per diagonali continue si intendono le diagonali con 3 elementi. Il risultato finale è il prodotto vettoriale. Questo metodo non si può applicare a matrici di cardinalità che non sia 3.

• Per verificare che il risultato sia corretto, si consiglia eseguire il PRODOTTO SCALARE tra il vettore a x b e i vettori di partenza. Se entrambi i prodotti scalare sono uguali a 0, allora il risultato del prodotto vettoriale dovrebbe essere corretto.

• Regola di Sarrus
• Diagonalizzabilità delle matrici

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