Come elevare una matrice al quadrato

Tramite: O2O 07/04/2021
Difficoltà: media
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Introduzione

Fin dall'antichità la matematica è sempre stata considerata il miglior strumento per lo studio scientifico da parte dell'uomo. Essa infatti, se studiata correttamente, permette di eseguire con estrema facilità tutti i calcoli necessari alla vita di tutti i giorni. In più è da considerarsi obbligatoria e necessaria per svolgere gran parte delle attività lavorative.
Le matrici in particolare sono delle tabelle ordinate che raccolgono gli elementi di un dato insieme; questi elementi possono rappresentare concetti più semplici (numeri razionali e irrazionali, reali, naturali, etc...), o più complessi, come ad esempio i vari tipi di funzioni matematiche.
In questa guida spiegheremo come elevare al quadrato una matrice.
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Occorrente

  • Quaderno
  • Penne
  • Matrici quadrate (fornite o da creare autonomamente per esercitarsi
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Composizione della matrice

La matrice è un argomento fondamentale dell'algebra lineare, essa viene rappresenta come una tabella ordinata di elementi. Tali elementi vengono solitamente indicati attraverso una coppia di indici a pedice. Le matrici sono tipicamente utilizzate per rappresentare sistemi lineari. Chiaramente gli elementi rappresentati all'interno di qualsiasi matrice sono suddivisi in righe e colonne in modo da poterli distinguere con più facilità. Le righe generalmente vengono rappresentate attraverso il simbolo "M", mentre le colonne con il simbolo "N".

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Matrice esponenziale

Solitamente ogni matrice viene indicata e distinta attraverso una lettera maiuscola dell'alfabeto. Di conseguenza per indicare una matrice elevata al quadrato, viene utilizzato il simbolo eª (nel caso in cui la matrice lineare fosse stata indicata precedentemente con la lettera "A"). Una matrice esponenziale presenta diverse proprietà tant'è che si distingue in: nulla, invertibile, trasposta ecc... Per il calcolo delle matrici esponenziali invece vengono spesso utilizzati gli autovettori, in quanto rendono la matrice meno complessa poiché permettono di ricavare una serie con un numero finito di termini.

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Elevamento al quadrato

Elevare al quadrato una matrice significa moltiplicare la matrice data per se stessa: A^2=AxA.
Per poter svolgere la moltiplicazione tra matrici è necessario che il numero di righe (M) della prima sia uguale al numero di colonne (N) della seconda.
Questo vuol dire che possiamo elevare a potenza solo le matrici quadrate.
Svolgere A^2 vuol dire quindi fare il prodotto AxA, cioè moltiplicare la prima riga della matrice A per la prima colonna della matrice A (M1xN1), la seconda riga di A per la seconda colonna di A (M2xN2) e così via finché non si terminano le righe della matrice.

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Moltiplicazione tra matrici

Naturalmente per elevare a potenza una radice come abbiamo spiegato è necessario saper svolgere le moltiplicazioni tra matrici.
Spiegheremo qui come svolgerle utilizzando due matrici quadrate di ordine 2 (ossia le più semplici).
A={[a(1,1);a(1,2)]|[a(2,1);a(2,2)]} - matrice quadrata di ordine 2.
AxA={[a(1,1) x a(1,1)+a(1,2) x a(2,1)];[a(2 ,1)x a(1,1)+ a (2,2)x a(2,1)]; [a(1,1)x a(1,2)+ a(1,2)x a (2,2)]; [a (2,1) x a(1,2)+ a(2,2) x a(2,2)]}.
Prendendo un esempio numerico:
A={5;6/3,2}
Ax A= {5x5+6x3; 3x5+2x3/5x6+6x2;3x6+2x2}. Ovviamente svolgere molti esercizi aiuterà a prendere occhio e dimestichezza con queste operazioni.

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Casi particolari

In alcuni casi particolari calcolare il quadrato di una matrice è molto facile.
Se la matrice è nulla, la potenza sarà nulla.
Se la matrice risulta essere diagonale, basterà elevare al quadrato tutti i termini presenti sulla diagonale di essa. Lo stesso vale per la matrice identità, ossia una matrice diagonale formata da elementi 1 nella diagonale e tutti 0 altrove.

Insomma, con un po' di pratica e qualche trucchetto elevare al quadrato matrici diventerà un gioco... Da ragazzi!

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Iniziate da matrici quadrate di ordine 2, salendo di ordine man mano che prendete dimestichezza con il procedimento da svolgere per calcolarne la potenza.
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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