Come effettuare una rototraslazione degli assi cartesiani

Tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

In questa breve guida ci occuperemo di geometria analitica, in particolare di come effettuare una particolare trasformazione del piano degli assi cartesiani chiamata rototraslazione. Innanzitutto qualche nozione fondamentale di base sul piano cartesiano. Un sistema di coordinate cartesiano si compone di un'asse delle ascisse, retta di riferimento solitamente chiamata "x". Di un'asse delle ordinate, retta ortogonale a quella di riferimento, solitamente chiamata "y". E infine da un punto nel quale queste due rette si incontrano, chiamato origine. Scopriamo ora i principali cambiamenti di coordinate nell'ambito del piano cartesiano, la rotazione e la traslazione.

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Occorrente

  • Conoscenze base di geometria analitica
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Nell'ambito della geometria ma anche della matematica in generale per rotazione si intende una trasformazione di un piano o di uno spazio vettoriale. Questa trasformazione avrà la caratteristica di spostare gli oggetti presenti in modo rigido e lasciare fisso almeno un punto che in sostanza rappresenta l'origine dello spazio. Nel caso in cui questa origine si presenti come un punto o una retta possiamo chiamare l'uno "centro" della rotazione, l'altro "asse". Per traslazione invece si intende una trasformazione atta a spostare tutti i punti di una stessa distanza nella stessa direzione.

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Per la rotazione degli assi cartesiani poniamo dunque come coordinate di un generico punto P x e y in un sistema di assi cartesiani ortogonali x O y. Ci riferiremo al sistema X O' Y dove gli assi saranno ruotati di un angolo Alpha. Le origini O e O' coincideranno. Potremo trasferire un sistema di riferimento x O y a un sistema X O' Y ruotato di un angolo Alpha rispetto al precedente con le seguenti relazioni: x = X cos Alpha - Y sen Alpha e y = X sen Alpha + Y cos Alpha. Per la traslazione invece riferiamoci alle medesime coordinate per il generico punto, lo stesso per il sistema ortogonale di assi cartesiani ma inseriamoli in un sistema di assi paralleli e concordi X O' Y. Se il nuovo sistema possiede le coordinate O' (a, b) varranno le seguenti relazioni: x = a + X e y = b + Y.

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Una rototraslazione è semplicemente l'unione di due trasformazioni di coordinate: una rotazione e una traslazione per l'appunto. Non esiste in effetti una particolare operazione o formula per mettere in pratica una rototraslazione degli assi cartesiani. Basterà in pratica effettuare per prima una delle due trasformazioni attraverso la relativa formula e successivamente l'altra. La rototraslazione degli assi cartesiani risulterà quindi dalla traslazione che porta dal sistema x O y al sistema X' O' Y' e dalla rotazione di un angolo Alpha che porta dal sistema X' O' Y' al sistema X O' Y. Le formule per la rototraslazione degli assi cartesiani saranno dunque: x = a + X cos Alpha - Y sen Alpha e y = b + X sen Alpha + Y cos Alpha.

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