Come effettuare una divisione tra numeri complessi

Tramite: O2O 23/12/2016
Difficoltà: media
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Introduzione

Gli studenti, a volte, faticano a comprendere alcune operazioni matematiche, non sempre per colpa loro, spesso è colpa della spiegazione troppo complicata che gli viene fatta in classe. Per questo motivo, nei passaggi seguenti, vi daremo alcuni consigli su come effettuare una divisione tra numeri complessi, utilizzando un'esposizione di facile comprensione.

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Occorrente
  • Basi di matematica
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Iniziamo facendo una breve introduzione ai numeri complessi, essi sono formati da una parte immaginaria e da una reale e possono essere rappresentati come la somma di un numero reale e di uno immaginario. Quando ci si trova di fronte ad una divisione tra numeri complessi, la prima operazione da compiere è quella di eliminare la parte immaginaria che si trova al denominatore. Per far ciò bisogna moltiplicare il denominatore per il suo coniugato, ovvero per la sua parte immaginaria cambiata di segno. Ricordate che il prodotto di "i" (l'unità immaginaria) per se stesso, dà come risultato -1, quindi i * i = -1. Moltiplicando un numero per il suo coniugato, lo si trasforma in un numero reale e si ottiene come risultato la somma tra i quadrati delle due cifre.

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Per bilanciare la moltiplicazione, dovrete ricordare di moltiplicare anche il numeratore, non per il suo coniugato, ma per la stessa quantità moltiplicata al denominatore. Moltiplicando e dividendo lo stesso numero, infatti, rimane invariato il numero di partenza. A questo punto bisogna utilizzare la formula che dice che la divisione tra due numeri complessi "z1 = a + ib" e "z2 = c + id" è data da: z1/z2 = (a + ib) / (c + id) = (a + ib) * (c - id) / (c + id) * (c - id) = ac + bd + i (cb - ad) / c^2 + d^2. Usando la rappresentazione z = re^i0, il rapporto di due numeri complessi è: r1e^i01 / r2e^i02 = (r1/r2)*e^i (01-02). In figura potete osservare la formula, appena trattata, scritta in linguaggio matematico, che sicuramente vi sarà di più facile comprensione.

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Per capire meglio quanto descritto nei passaggi precedenti, ricorriamo all'applicazione della formula in un semplice esempio: supponiamo di avere il numero z1 = (5*3i) ed il numero z2 = (4-i) e di dover risolvere la divisione z1/z2. Per prima cosa moltiplichiamo e dividiamo per il coniugato del denominatore ovvero (4+i). Al denominatore otteniamo 16+1=17, al numeratore otteniamo (20-3) (12 5) i. Facendo le somme al numeratore, separando la parte immaginaria da quella reale e semplificando, il risultato è i 1. Con l'applicazione della formula per la divisione tra numeri complessi, abbiamo visto come risulti semplice la risoluzione dei problemi, agevolando il compito a tutti gli studenti.

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