Come effettuare un cambiamento di base nei logaritmi

Tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Un logaritmo è un esponente; per essere più precisi, il logaritmo di un numero x ad una base B è solo l'esponente, per rendere il risultato uguale ad x.
Ogni equazione esponenziale può essere riscritta come equazione logaritmica e viceversa, semplicemente scambiando la x ed y. Ecco come effettuare un cambiamento di base nei logaritmi.

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Per modificare il registro dalla base b per un'altra base (chiamiamola a), è necessario calcolare x. Dal momento che si dispone già di x su un lato dell'equazione, sembra che un buon punto di partenza è quello di cambiare la base da entrambe le parti:
Loga (blogbx) = logax.
La parte sinistra di questa equazione è solo il registro di potenza. L'equazione si semplifica in
(Logab) (logbx) = logax
Si noti che logab è una costante. Ciò significa che i registri di tutti i numeri in una data base, sono proporzionali ai logaritmi degli stessi numeri in un'altra base b e la costante di proporzionalità logab è il registro di una base nell'altra base.

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Per semplificare il cambiamento di base, basta ricavare l'equazione. Per ottenere la frazione dall'equazione è sufficiente dividere per la costante di proporzionalità logab: logbx = (logax) / (logab). Se prendiamo la base b = 2b = 2 e alziamo il potere di k = 3k = 3, abbiamo l'espressione: 2323. Il risultato è un numero, che chiameremo cc, definito da 23 = C23 = c. Possiamo usare le regole di elevamento a potenza di calcolo e il risultato finale sarà:
c = 23 = 8.
c = 23 = 8.

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Dal calcolo eseguito precedentemente, sappiamo già che k = 3k = 3. Nel caso in cui, il risultato dell'elevamento a potenza è c = 4c = 4, è necessario risolvere 2k = 42k = 4.
Si definisce un tipo di logaritmo (chiamato "logaritmo in base 2" indicato log2log2); il logaritmo in base 2 è definito in modo che
log2c = k
log2⁡c = k, la soluzione al problema è:
2k = c.

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Al fine di valutare un registro non standard-base, è necessario utilizzare la formula Change-di-base:
log_b (x) = log_d (x) / log_d (b).


Questa regola afferma, in termini pratici, che si può valutare un registro non standard-base convertendolo alla frazione della forma "log standard-base dell'argomento" e dividendo il logaritmo per lo stesso standard-base. Si potrebbe ottenere la stessa risposta se si utilizza il registro comune, anche se il numeratore e il denominatore della frazione intermedia sarebbe diverso da quello fatto in precedenza: log_3 (6) = log (6) / log (3) = 1,6309 (ca.). Ricordiamo inoltre, che non è necessario preoccuparsi di scrivere il passaggio intermedio, in quanto non è obbligatorio.

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