Come Effettuare Il Test Di Fibonacci Su Un Numero

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Quasi tutti conoscono il procedimento per costruire la successione di Fibonacci partendo dai primi due numeri, noti per definizione, e ricavando il numero successivo a seguire. Le cose si complicano però se, dato un numero naturale, ci viene richiesto di verificarne l'effettiva appartenenza alla successione di Fibonacci. Se non disponiamo di tabelle apposite, in cui sono riportati tutti gli elementi di tale successione, è necessario effettuare il test di Fibonacci sul numero in questione. Vediamo dunque come procedere.

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Occorrente

  • Carta e penna
  • Calcolatrice
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Innanzitutto, la successione di Fibonacci, che viene spesso indicata con Fib (n), è una successione di numeri naturali positivi, in cui ogni elemento è costituito dalla somma dei due numeri che lo precedono nella successione. Inoltre, i primi due elementi sono per definizione entrambi 1. La definizione ricorsiva è quindi: Fib (n) = Fib (n-1) + Fib (n-2). L'incipit della nota successione di Fibonacci è quindi: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 e così via. Gli elementi che sono presenti in tale successione prendono il nome di "numeri di Fibonacci". La successione di Fibonacci trova diverse applicazione in natura e nella geometria, ed è nota anche la spirale ricavata proprio da essa.

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Il primo passo per effettuare la verifica con il test di Fibonacci, è quello di elevare al quadrato il numero intero da controllare. Se, per esempio, intendiamo effettuare la verifica sul numero 5, otterremo 5^2 = 25. Successivamente, dovremo moltiplicare il risultato ottenuto per cinque, ottenendo così 25 x 5 = 125. Adesso, bisogna sottrarre a questo prodotto il numero quattro, ottenendo in questo caso 125 - 4 = 121. Osserviamo adesso quest'ultimo risultato: se esso rappresenta un quadrato di un altro numero intero, il numero di partenza appartiene alla successione di Fibonacci. 121 è infatti il quadrato di 11, quindi il 5, il numero di partenza del test, è un numero di Fibonacci.

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Se invece il test di quadraticità non fosse verificato, sarà necessario proseguire il test, in quanto non potrà ancora ritenersi esaustivo. La condizione descritta è, infatti, sufficiente ma non necessaria. Applicando i calcoli dei precedenti passi sul numero 8, otteniamo 316, che non è il quadrato di alcun numero intero. A questo punto, è necessario effettuare nuovamente gli stessi calcoli precedenti, ad eccezione dell'ultimo passaggio in cui, invece che sottrarre quattro, dovremo aggiungere otto. Otterremo n questo caso 316 + 8 = 324, che è il quadrato perfetto di 18. Possiamo concludere dicendo che 8 è un numero di Fibonacci.

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