Come dividere un segmento in 3 parti congruenti

Alcuni problemi del disegno geometrico richiedono operazioni particolari da farsi solo con l'uso della riga e del compasso. Sebbene possa sembrare un problema che si risolve immediatamente, la suddivisione di un segmento in due o più parti congruenti, prevede delle regole generali che vanno seguite scrupolosamente. La prima e fondamentale è che non vale misurare il segmento ed effettuare una divisione algebrica. Il motivo è abbastanza banale, ed è legato alla precisione del righello. In media si possiedono righe e squadre millimetrate ed ovviamente le frazioni di millimetro non sono contemplate. Cercando di fare una divisione normale si introdurrebbe un errore legato alla troncatura. Con il compasso invece è possibile effettuare una divisione molto più precisa. Con questa breve guida vi mostrerò come si fa a dividere un segmento in tre parti congruenti avvalendosi di un metodo geometrico. Anche se ovviamente le applicazioni attuali di questo metodo sono solo accademiche, ricordate che si tratta di un metodo che è stato utilizzato per secoli. Buon divertimento.

• Una matita
• Un compasso
• Un righello

Procuratevi un lapis a punta dura per essere più precisi ed iniziate a preparare il problema. Prima di tutto segnate due punti A e B sul foglio e congiungeteli per formare un segmento, di cui A e B saranno ovviamente gli estremi. Tracciate poi un nuovo segmento AS arbitrario che avrà il suo punto di origine in A: basta posizionare il righello, puntare la matita sul punto A e tracciare una segmento lungo a piacere, che formerà un angolo. Vi consiglio di mantenervi sugli stessi ordini di grandezza di AB. In generale il segmento AS può formare un angolo qualunque con AB, ma se fate in modo che sia acuto, vi risparmierete qualche noia successivamente. A questo punto prendiamo il compasso e scegliamo un'apertura a piacere abbastanza più corta di AS in modo tale da poter segnare tre segmenti usando il compasso come misura. Chiameremo questi tre segmenti contigui: AC, CD e DE. Adesso col compasso prendiamo la distanza EB e non muoviamo il compasso per non alterarne l'apertura.

Per continuare la costruzione dei segmenti si deve ricorrere all'impiego del metodo degli archi guida che si impiega comunemente anche per altre costruzioni. Questo metodo è iterativo ed è valido per la suddivisione di un segmento in un numero qualsiasi di parti uguali. Proseguendo a questo punto, col compasso aperto con apertura EB, puntatelo in A e tracciate un arco di circonferenza. Per proseguire ripetiamo l'operazione cambiando ampiezza. Prendete la misura del segmento AD col compasso; puntatelo nel punto B e tracciate un arco abbastanza ampio da intersecarsi con quello appena tracciato. Otteniamo così un nuovo punto, che chiameremo F. Congiungete il punto F con il punto B, ottenendo il segmento FB.

Adesso, con procedura analoga alle due precedenti, prendiamo col compasso la distanza AC e riportiamola sul segmento FB, formando altri tre segmenti: FG, GH, HB.
A questo punto abbiamo quasi finito e ci servirà l'uso del righello o della squadra. Con il righello, uniamo il punto A con il punto F, il punto C con G, il punto D con H e infine il punto B con D. I quattro segmenti che abbiamo appena tracciato intersecheranno il segmento iniziale AB, dividendolo in tre parti perfettamente uguali. Il metodo come già accennato si può estendere a n segmentazioni, è sufficiente ripeterlo in maniera iterativa per ottenere la divisone richiesta.

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