Come distinguere disposizioni, permutazioni e combinazioni

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Il calcolo combinatorio è una parte molto importante della matematica, in quanto costituisce la base per la risoluzione dei problemi di calcolo delle probabilità e, nel contempo, è un ottimo esercizio per allenare la mente a risolvere enigmi logici. Saper calcolare le combinazioni, per esempio, può risultare utile anche al di fuori dell'ambito scolastico; vengono usate per determinare quante possibilità di vincita si hanno giocando una schedina o qualsiasi altro gioco a premi come il lotto o le estrazioni della lotteria. In questa guida vedremo come distinguere disposizioni, permutazioni e combinazioni.

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Per quanto riguarda le disposizioni il risultato sarà ottenuto in maniera simile considerando, però, che la stringa finale sarà di una lunghezza inferiore a "n", che viene solitamente indicata con "k". In pratica, avendo a disposizione "n" elementi dovranno essere costruiti dei gruppi contenenti "k" elementi presi dagli "n". Considerando che come prima lettera potrà essere scelta una delle 4 disponibili (n), come seconda le 4 lettere meno quella utilizzata (n-1) e così via, il risultato sarà determinato da n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x... X 2 x 1. Nel caso della parola "cane" il risultato sarà 24 (4x3x2x1). Ciascun gruppo differisce dall'altro o perché ha degli elementi differenti o perché sono disposti in ordine diverso. Il numero delle disposizioni possibili si calcola con la formula Dn, k=n x (n-1) x (n-2) x... X (n-k+1). Sempre per la parola "cane", con n=4, se prendiamo K=2 le disposizioni possibili sono: "c; a", "a; n", "n; a", etc. Il risultato sarà 12, ottenuto da 4 x 3 (il 3 determinato da 4-2+1).

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Iniziando dalle permutazioni, queste sono rappresentate da un insieme "n" di oggetti distinti tra loro che vengono indicati con la lettera "A" che devono essere ripetuti una volta sola. Pertanto, considerando A={A1, A2,..., An} dovrà essere calcolato il numero di possibili combinazioni tra i vari oggetti. Ad esempio, nella parola "cane", bisognerà verificare quante parole di 4 lettere possono essere ottenute usandole tutte e 4 senza mai ripeterle. Considerando che come prima lettera potrà essere scelta una delle 4 disponibili (n), come seconda le 4 lettere meno quella utilizzata (n-1) e così via, il risultato sarà determinato da n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x... X 2 x 1. Nel caso della parola "cane" il risultato sarà 24 (4x3x2x1).

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Infine, le combinazioni sono delle disposizioni in cui non viene preso in considerazione l'ordine degli elementi. In questo caso "a; n" e "n; a" non vengono considerati due elementi bensì uno solo. Di conseguenza la formula da utilizzare sarà Cn, k=Dn, k/Pk= [n x (n-1) x (n-2) x... X (n-k+1)]/[k x (k-1) x (k-2) x... X 2 x 1].

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