Come distinguere disposizioni, permutazioni e combinazioni

Il calcolo combinatorio è una parte molto importante della matematica, in quanto costituisce la base per la risoluzione dei problemi di calcolo delle probabilità e, nel contempo, è un ottimo esercizio per allenare la mente a risolvere enigmi logici. Nella maggior parte dei calcoli combinatori, si arriva molto spesso ad un punto in cui molti studenti cadono preda dello stesso errore, che consiste nell'applicare la selezione al posto della disposizione e viceversa. Ma saper calcolare le combinazioni, per esempio, può risultare utile anche al di fuori dell'ambito scolastico; vengono usate per determinare quante possibilità di vincita si hanno giocando una schedina o qualsiasi altro gioco a premi come il lotto o le estrazioni della lotteria. In questa guida vedremo come distinguere disposizioni, permutazioni e combinazioni.

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Una permutazione è una tecnica matematica che determina il numero di possibili arrangiamenti in un insieme quando l'ordine degli arrangiamenti è importante. I problemi matematici più comuni implicano la scelta di diversi elementi da un insieme di elementi con un certo ordine. Le permutazioni sono rappresentate da un insieme "n" di oggetti distinti tra loro, che vengono indicati con la lettera "A" che devono essere ripetuti una volta sola. Pertanto, considerando A={A1, A2,..., An} dovrà essere calcolato il numero di possibili combinazioni tra i vari oggetti. Ad esempio, nella parola "cane", bisognerà verificare quante parole di 4 lettere possono essere ottenute usandole tutte e 4 senza mai ripeterle. Considerando che come prima lettera potrà essere scelta una delle 4 disponibili (n), come seconda le 4 lettere meno quella utilizzata (n-1) e così via, il risultato sarà determinato da n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x... X 2 x 1. Nel caso della parola "cane" il risultato sarà 24 (4x3x2x1).

Per quanto riguarda le disposizioni il risultato sarà ottenuto in maniera simile considerando, però, che la stringa finale sarà di una lunghezza inferiore a "n", che viene solitamente indicata con "k". In pratica, avendo a disposizione "n" elementi dovranno essere costruiti dei gruppi contenenti "k" elementi presi dagli "n". Considerando che come prima lettera potrà essere scelta una delle 4 disponibili (n), come seconda le 4 lettere meno quella utilizzata (n-1) e così via, il risultato sarà determinato da n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x... X 2 x 1. Nel caso della parola "cane" il risultato sarà 24 (4x3x2x1). Ciascun gruppo differisce dall'altro o perché ha degli elementi differenti o perché sono disposti in ordine diverso. Il numero delle disposizioni possibili si calcola con la formula Dn, k=n x (n-1) x (n-2) x... X (n-k+1). Sempre per la parola "cane", con n=4, se prendiamo K=2 le disposizioni possibili sono: "c; a", "a; n", "n; a", etc. Il risultato sarà 12, ottenuto da 4 x 3 (il 3 determinato da 4-2+1).

Infine, le combinazioni sono delle disposizioni in cui non viene preso in considerazione l'ordine degli elementi, ovvero una tecnica matematica che determina il numero di possibili disposizioni in una raccolta di elementi in cui l'ordine della selezione non è importante. Nelle combinazioni, infatti, è possibile selezionare i fattori in qualsiasi ordine. Le combinazioni possono essere confuse con le permutazioni, ma in realtà esiste una differenza molto grande: nelle permutazioni l'ordine degli elementi selezionati è essenziale. Ad esempio, le disposizioni ab e ba sono uguali nelle combinazioni (considerate come una disposizione), mentre nelle permutazioni nelle disposizioni sono diverse. Le combinazioni vengono studiate in combinatoria, ma sono anche utilizzate in diverse discipline, comprese la matematica e la finanza.
In questo caso "a; n" e "n; a" non vengono considerati due elementi bensì uno solo. Di conseguenza la formula da utilizzare sarà Cn, k=Dn, k/Pk= [n x (n-1) x (n-2) x... X (n-k+1)]/[k x (k-1) x (k-2) x... X 2 x 1].

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