Come disegnare una funzione razionale

Una funzione razionale è una funzione composta dal rapporto tra due polinomi, del tipo f(x)=N(x)/D(x) dove N(x) rappresenta il numeratore della frazione, mentre D(x) è il denominatore. Generalmente sono entrambi polinomi di grado maggiore o uguale a 0, ed il denominatore deve essere diverso da 0.
Qualora il denominatore sia un polinomio di grado 0 la funzione razionale è altresì detta funzione razionale intera, mentre nel caso più comune di polinomi di grado superiore a 0 al denominatore si parla di funzioni razionali fratte.
La rappresentazione di questo genere di funzioni matematiche non è scontata ed intuitiva come in altri casi, poiché vi possono essere punti o zone in cui la funzione non esiste e asintoti di vario genere, tuttavia seguendo questa guida si imparerà passo per passo come disegnare il grafico di una qualsiasi funzione razionale.

• Carta
• Penna o matita
• Righello
• Conoscenze matematiche quali disequazioni, limiti e derivate
• Calcolatrice

Si inizia andando a determinare l'insieme di definizione della funzione, cioè il dominio.
Per fare questo basta porre il denominatore D(x) diverso da 0, infatti è questa la condizione fondamentale da rispettare per l'esistenza della funzione f(x).
Una volta scritta l'equazione della diseguaglianza basterà risolverla per avere il dominio della funzione, per poi procedere con la determinazione del segno di f(x).
Per il segno della funzione ci si avvale di due disequazioni: si pone N(x) maggiore o uguale a 0 e D(x) maggiore di 0, una volta risolte si procede con il disegnare il diagramma delle disequazioni per capire l'andamento del segno della funzione f(x).

Un'operazione utile da svolgere è verificare se la funzione interseca gli assi X e Y e dove questo accade, infatti la procedura non richiede molto tempo ma dà indicazioni importanti sull'andamento della funzione.
Per vedere dove f(x) interseca l'asse Y basterà porre x=0 nella funzione e vedere quale numero si ottiene.
Per capire dove la funzione interseca l'asse X si fa la cosa opposta: si pone f(x)=0 e si risolve in funzione di x.
Delle volte può accadere che la funzione intersechi solo uno dei due assi, ma come si è visto la verifica è molto semplice da attuare, per cui è consigliabile eseguire questa operazione all'inizio per avere informazioni più ricche in fase di disegno.

Step fondamentale nello studio di una funzione razionale è la ricerca degli asintoti, in quanto sicuramente la funzione ne presenterà di vario genere.
Si va quindi a calcolare il limite nei punti in cui la funzione non esiste, ovvero quelli che soddisfano N(x)=0, per avere gli asintoti verticali, e qualora non esista neanche il limite bisogna svolgere il limite destro e sinistro in corrispondenza di questi punti. Per verificare l'esistenza di asintoti orizzontali bisogna calcolare il limite di f(x) per x che tende a più infinito e meno infinito, e vedere se hanno come risultati valori diversi da infinito e meno infinito.
Infine si procede con la ricerca degli asintoti obliqui: se questi esistono avranno l'equazione di una retta del tipo y=mx+q, per cui bisogna ricercare i fattori "m" e "q".
Il valore di "m" si ricava svolgendo il limite di f(x)/x per x che tende a più e meno infinito, se questo valore è un numero reale diverso da 0 si ha sicuramente l'asintoto obliquo. Il valore di "q" si ricava poi facendo il limite di f(x)-m*x per x che tende a più e meno infinito.

Successivamente bisogna andare a cercare eventuali massimi e minimi (più eventuali punti di flesso) della funzione. Si procede quindi con la derivazione di f(x), per poi porre la derivata f '(x)=0 ed individuare i punti di massimo, minimo o di flesso, qualora essi esistano.
Si può poi proseguire andando a studiare il segno della derivata ponendo f'(x)>0, e questo è certamente consigliato quando si desidera avere un risultato accurato, ma nella maggior parte dei casi basta avere i punti di massimo e minimo per disegnare l'andamento qualitativo della funzione.

Si dispone ora di dominio, andamento del segno, intercetta degli assi X e Y, asintoti verticali, orizzontali ed obliqui, massimi, minimi ed eventuali punti di flesso, per cui basterà tracciare queste informazioni nel grafico XY, l'ultimo passo è quello di collegare tutti questi punti ed informazioni con criterio per ottenere il grafico della funzione razionale. Qualora si necessiti di disegni più precisi si può calcolare il valore della funzione in numerosi punti di "x" in modo da aggiungere anche questi nel grafico, tuttavia per la maggior parte delle applicazioni è ampiamente sufficiente l'andamento qualitativo della funzione.

Questo è tutto ciò che occorre per disegnare grafici di funzioni razionali di qualsiasi genere, tuttavia per apprendere al meglio le nozioni appena lette è consigliabile svolgere molti esercizi, al fine di padroneggiare l'argomento. In allegato sono disponibili vari link contenenti esempi ed esercizi sull'argomento.

• Esercitarsi molto per apprendere al meglio i concetti

• Funzioni razionali intere e fratte
• File contenete esercizi