Come disegnare una funzione definita a tratti

La matematica ha da sempre rappresentato lo spauracchio di tutti gli studenti, dalle elementari fino alle superiori. Questo perché i concetti sono tutti concatenati tra loro; pertanto, basta non comprenderne per trovarsi subito in difficoltà. Ad un certo punto degli studi, prima o poi a tutti capita di imbattersi nella trigonometria, che è quella branca della matematica che si occupa del calcolo degli di angoli dei triangoli. Se siete alle prese con lo studio di funzione, vi sarà capitato senza dubbio di dover disegnare il grafico di una funzione definita a tratti; queste ultime vengono utilizzate per descrivere le situazioni in cui una regola o una relazione cambia quando il valore di input attraversa determinati "confini". Per riuscire in quella che sembra un'ardua impresa, bisogna conoscere degli elementi di base dello studio di funzioni, quali i grafici delle funzioni elementari (radice di x, logaritmo di x, elevazione a potenza, esponenziale). Inoltre bisogna avere ben chiara la definizione di funzione definita a tratti. Se tuttavia riscontrate comunque dei problemi per il grafico di una funzione di questo tipo, oggi vi mostreremo come disegnare una funzione definita a tratti.

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• Nozioni sullo studio di una funzione

Come già detto, bisogna partire dalla definizione di funzione definita a tratti. In matematica una funzione definita a tratti è una funzione che "comprende" delle sottofunzioni, ovvero funzioni definite per intervalli ben precisi delle x. In poche parole, una funzione definita a tratti è una funzione che è possibile dividere in due o più funzioni che assumono valori compresi in due o più intervalli. L'esempio più semplice di funzione definita a tratti è il gradino unitario (indicato in molti testi con u (x) o con 1(x)). Questo è formato da due sottofunzioni, una che vale 0 ed è valida per x0. Per questo motivo, una funzione definita a tratti è quella determinata non da una singola equazione, ma da due o più. Ogni equazione è valida per un certo intervallo.

Avendo ben chiara la definizione di funzione definita a tratti, passate alla realizzazione di un piano xy che contenga il grafico della funzione. Disegnate quindi due assi perpendicolari tra loro e ponete su entrambe le righe dei numeri a distanza regolare. Iniziate quindi lo studio della funzione definita a tratti studiando ogni singola funzione che la compone nell'intervallo indicato. Solitamente le sottofunzioni sono funzioni elementari, che non necessitano di uno studi considerevole, il più delle volte sono funzioni elementari, ecco perché sapere il loro grafico potrebbe agevolarvi di molto nel disegno finale. Indicate sull'asse xy i confini definiti dagli intervalli su ogni parte del dominio. Per ogni parte del dominio, tracciate un grafico su quell'intervallo utilizzando l'equazione corrispondente.

Se tuttavia le sottofunzioni non sono banali, dovete provvedere ad uno studio meticoloso. Ricordatevi che per ogni sottofunzione sono sempre valide le stesse regole che si adottano per ogni funzione canonica. Quindi dovrete innanzitutto verificare il dominio d'esistenza, che può non coincidere col dominio di validità che si ha in quanto sottofunzione, e poi studiarne l'andamento tramite le derivate prime e seconde. Avendo svolto lo studio di ogni sottofunzione potete procedere col disegnare il grafico della funzione definita a tratti. Ponete in ogni intervallo di appartenenza la sottofunzione di interesse ponendo particolare attenzione ai valori che essa assume nei due estremi. Quando si fa il grafico di funzioni di questo tipo è facile che questo presenti delle discontinuità.

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