Come disegnare una funzione definita a tratti

Se siete alle prese con lo studio di funzione, vi sarà capitato senza dubbio di dover disegnare il grafico di una funzione definita a tratti. Per riuscire in quella che sembra un'ardua impresa, bisogna conoscere degli elementi di base dello studio di funzioni, quali i grafici delle funzioni elementari (radice di x, logaritmo di x, elevazione a potenza, esponenziale). Inoltre bisogna avere ben chiara la definizione di funzione definita a tratti. Se tuttavia riscontrate comunque dei problemi per il grafico di una funzione di questo tipo, oggi vi mostreremo come disegnare una funzione definita a tratti.

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Come già detto, bisogna partire dalla definizione di funzione definita a tratti. In matematica una funzione definita a tratti è una funzione che "comprende" delle sottofunzioni, ovvero funzioni definite per intervalli ben precisi delle x. In poche parole, una funzione definita a tratti è una funzione che è possibile dividere in due o più funzioni che assumono valori compresi in due o più intervalli. L'esempio più semplice di funzione definita a tratti è il gradino unitario (indicato in molti testi con u (x) o con 1(x)). Questo è formato da due sottofunzioni, una che vale 0 ed è valida per x<0, e l'altra che vale 1 per valori di x>0.

Avendo ben chiara la definizione di funzione definita a tratti, passate alla realizzazione di un piano xy che contenga il grafico della funzione. Disegnate quindi due assi perpendicolari tra loro e ponete su entrambe le righe dei numeri a distanza regolare. Iniziate quindi lo studio della funzione definita a tratti studiando ogni singola funzione che la compone nell'intervallo indicato. Solitamente le sottofunzioni sono funzioni elementari, che non necessitano di uno studi considerevole, il più delle volte sono funzioni elementari, ecco perché sapere il loro grafico potrebbe agevolarvi di molto nel disegno finale.

Se tuttavia le sottofunzioni non sono banali, dovete provvedere ad uno studio meticoloso. Ricordatevi che per ogni sottofunzione sono sempre valide le stesse regole che si adottano per ogni funzione canonica. Quindi dovrete innanzitutto verificare il dominio d'esistenza, che può non coincidere col dominio di validità che si ha in quanto sottofunzione, e poi studiarne l'andamento tramite le derivate prime e seconde. Avendo svolto lo studio di ogni sottofunzione potete procedere col disegnare il grafico della funzione definita a tratti. Ponete in ogni intervallo di appartenenza la sottofunzione di interesse ponendo particolare attenzione ai valori che essa assume nei due estremi. Quando si fa il grafico di funzioni di questo tipo è facile che questo presenti delle discontinuità.

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• Grafico di una funzione definita a tratti