Come disegnare un diagramma di Bode a mano

Tramite: O2O 26/10/2018
Difficoltà: media
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Introduzione

Per analizzare la risposta in frequenza di una funzione di trasferimento si possono impiegare vari metodi, uno di questi si basa sul tracciamento del diagramma di Bode, che riporta su due carte distinte la risposta in ampiezza ed in fase, utilizzando una carta semilogaritmica. La funzione di trasferimento è un'espressione fratta a variabili complesse che si ricava sperimentalmente stimolando una rete lineare ponendo in ingresso un segnale sinusoidale a frequenza che va da valori molto bassi a molto alti e controllando come si comporta l'uscita, sia in ampiezza che in relazione di fase. Un metodo analogo si impiega anche per i calcoli teorici sulle reti. In una funzione di trasferimento le radici del numeratore si chiamano zeri e quelle del denominatore zeri. Vediamo quindi come disegnare un diagramma di Bode a mano.

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Occorrente

  • Carta semi-logaritmica
  • Matita
  • Funzione di trasferimento
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La carta semi logaritmica

Per questioni di praticità, si utilizza una carta semilogaritmica, in cui cioè l'asse delle frequenze segue una griglia logaritmica, mentre quello delle ampiezze, espresse in Decibel (dB), una scalatura lineare. L'idea di fondo è che una rete lineare, eccezion fatta per alcuni punti importanti, può essere stimolata con un numero di segnali sinusoidali piuttosto differenti in frequenza fra loro, e che si possono raccordare i valori di uscita trovati usando segmenti di retta.

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Diagramma delle ampiezze

La funzione di trasferimento per una rete lineare è il rapporto di due polinomi nella variabile di Laplace "s", con il numeratore ed in denominatore che possono essere eventualmente scomposti in prodotti di monomi, binomi e trinomi (anche se non è sempre immediato il calcolo delle radici). Di solito esiste poi un termine a moltiplicare il tutto. Cercando di fare dei distinguo, il termine a moltiplicare rappresenta il guadagno a frequenza nulla, una sorta di asse delle frequenze ausiliario che trasla verticalmente tutto il diagramma. Ricordiamo infatti che, dovendo calcolare il logaritmo della funzione di trasferimento per ottenere il valore in decibel, i prodotti ed i rapporti presenti si trasformano in somme e sottrazioni. I termini monomiali del tipo s^n introducono una pendenza di n*20db/dec positiva se si trovano al numeratore e negativa al denominatore. Tale retta intercetta l'asse delle frequenze al valore 0 che corrisponde ad una frequenza infinitesima. I termini binomiali, invece introducono ognuno pendenze di +/-20db/dec a partire dal valore in frequenza della loro radice. I trinomi invece rappresentano comportamenti particolari, e a seconda del valore del coefficiente del termine di grado 1 introducono picchi di risonanza, se presentano radici complesse coniugate. Il diagramma di ampiezza si ottiene sommando nell'ordine: il contributo in continua, la pendenza iniziale e man mano che si presentano, le altre pendenze, quindi per esempio se abbiamo uno zero alla pulsazione di 100rad/sec, ed un polo a 1000rad/sec, in una rete con funzione di trasferimento del tipo H(s)=(s-a)/(s-b), troveremmo che per s=100rad/sec il diagramma sale con pendenza di 20db/dec, e alla decade successiva, in questo caso sede dell'altro polo, la presenza del nuovo termine, sommandosi annullerà la pendenza, dandoci una retta parallela all'asse delle frequenze/pulsazioni.

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Diagramma delle fasi

Come detto il diagramma di Bode presenta anche una componente in fase. In pratica la rete anticipa o ritarda la fase del segnale di uscita rispetto a quello in ingresso (in un regime stazionario, ovviamente) di un valore che dipende dalla frequenza di osservazione. Anche qua ci sono valori legati ai termini. In particolare, un guadagno in continua negativo introduce una fase di -180°, i termini monomiali del tipo s^n introducono uno sfasamento di n*90° se sono al numeratore e n*-90° al denominatore. I termini di primo grado una fase che va da 0 un'ottava prima del valore della radice a +/-90° nell'ottava dopo a seconda se sono zeri oppure poli, discorso analogo vale per i trinomi con radici complesse che introducono sfasamenti di +/-180° a seconda se sono al numeratore o al denominatore.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Nel caso in cui sulla stessa pulsazione agisca sia un polo che uno zero, non avremo alcun cambiamento di pendenza.
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