Come disegnare la proiezione ortogonale di una piramide

Le proiezioni ortogonali sono un esercizio tipico delle scuole medie e superiori. Non tutti gli studenti le amano, anche se non sono difficilissime. Forse, il lato più antipatico sta nel capire il loro significato e quello di tutte le linee di costruzione che ci si trova a fronteggiare. È più semplice di quanto sembri: diviso il foglio in quattro quadranti, in alto a sinistra troviamo la "faccia" dell'oggetto da analizzare, in basso a sinistra la visione dello stesso oggetto dall'alto e in alto a destra la visione laterale. In basso a sinistra ci riserviamo un po di spazio per la costruzione dei tre quadranti precedentemente descritti. Un facilitazione dell'esercizio è presente quando dobbiamo "smontare" un poligono o un solido regolari. In questo caso, infatti, le due viste in alto saranno identiche. Proviamo allora ad illustrare come si disegna la proiezione di una piramide regolare a base quadrata.

• Matita, foglio squadrato, squadrette, compasso e gomma.

Come detto, dividiamo il nostro foglio in quattro quadranti identici, aiutandoci con le squadre o con le linee prestampate nel caso di fogli già squadrati. Andiamo ad occuparci del primo quadrante, quello in alto a sinistra. Estrapolati i dati principali della piramide andiamo a disegnarne la visione frontale: disegniamo innanzitutto la base della piramide che, da questo punto di vista, sarà un semplice segmento AB, lungo quanto uno dei lati di base. Ora, una volta trovato il punto medio M di questo segmentino, innalziamo il suo asse passante per M. Andiamo a segnarci un punto H sull'asse che corrisponde all'altezza della nostra piramide e colleghiamo sia A che B con H. Ecco disegnata la prima vista!

Ora facciamo partire da ogni punto importante del nostro disegno (nel nostro caso A, B ed M) una linea verticale che vada ad "invadere" il quadrante in basso a sinistra. Ora immaginiamo mentalmente una piramide egizia a base quadrata vista da un aeroplano: ci sembrerà un quadrato. Ecco cosa dobbiamo disegnare allora! Colleghiamo con un segmento orizzontale le due linee provenienti da A e B, più o meno a 10 cm dall'asse dei quadranti. I due punti trovati saranno A' e B', corrispettivi di A e B in questa vista. Ora sulle linee verticali che partono da A' e B' disegniamo due segmenti verticali di lunghezza pari a quella di AB, trovando i punti C' e D'. Colleghiamo questi due punti ed abbiamo completato il quadrato. Se vogliamo essere precisi, però, dall'aeroplano probabilmente si scorgerebbe anche la punta della piramide: andiamo allora a disegnare le diagonali del quadrato trovando M' e completando l'opera.

Non ci resta che completare la vista laterale, aiutandoci, oltre che con le solite squadrette, anche con il quadrante di costruzione in basso a destra. Sia dal primo che dal secondo quadrante facciamo partire delle line orizzontali che partano dai punti trovati (B, M, B', D' ed M') e vadano a intersecare l'asse verticale del foglio. Nel caso del primo quadrante facciamo continuare tali linee fino all'estremità destra del foglio stesso. Ora avvaliamoci del nostro compasso e puntiamo al centro degli assi collegando, con massima attenzione, ognuna delle linee provenienti dal secondo quadrante al terzo quadrante, attraverso un arco di circonferenza. Partendo dai punti di intersezione fra asse del foglio e archi innalziamo delle linee verticali che raggiungano l'estremo superiore del foglio. Come detto in precedenza, in questo caso la vista laterale sarà uguale a quella frontale. Prendiamo il punto di intersezione fra la linea partita da B e il primo arco e chiamiamolo A". Facciamo partire da esso un segmento orizzontale di lunghezza AB che individuerà il punto B". Chiamiamo M" il punto di intersezione fra la linea partita da M e il secondo arco. Uniamo M" con A" e B" e abbiamo finito la costruzione.

Il nostro disegno è completo ma molto sporco. Andiamo quindi a calcare con una penna o un pennarello sottile le due piramidi, i loro assi, il quadrato di base e le sue diagonali. Lasciamo tutte le altre linee a matita così da far capire che sono solo linee di costruzione e andiamo a cancellare tutte le piccole imprecisioni con la gomma.  

• Non calcare le line di costruzione.

• Come calcolare lo spigolo laterale di una piramide