Come disegnare la curva di Peano

Tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Quando si parla di un grafico denominato "curva di Peano" ci si riferisce a diverse tipologie di curve che si collocano su una specifica porzione di piano. Questa figura è molto particolare e appartiene alla categoria dei frattali. Questo termine deriva dal latino "fracturs" e sta a significare "spezzato, irregolare". I frattali si caratterizzano per essere irregolari e risultano prodotti da un numero infinito di iterazioni. Riprodurre graficamente una curva di Peano è pressoché impossibile, poiché si tratterebbe di tracciare un quadrato tutto nero. Generalmente, quindi, si disegnano mediante una serie di stadi di approssimazione. Questi ultimi vengono descritti ricorrendo ad un particolare linguaggio di programmazione chiamato "Lindenmayer system" o "L-system". Grazie ai suggerimenti forniti in questa pratica guida sull'argomento, scopriremo come disegnare la curva di Peano. Armiamoci di foglio da disegno e matita e vediamo come procedere step by step.

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Occorrente

  • Matita
  • Righello
  • Foglio di carta
  • Passione per la matematica
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Riconoscere le caratteristiche della curva di Peano

Prima di disegnare la curva di Peano, dobbiamo tener conto delle sue caratteristiche. Andiamo dunque ad osservare più da vicino questa singolare porzione di piano. Una prima particolarità risiede nel fatto che la curva di Peano si può percorrere interamente da un estremo all'altro, senza necessariamente passare due volte sullo stesso tratto. La cosa sorprendete è che possiamo benissimo tracciarla senza mai sollevare la penna dal foglio. Inoltre la sua lunghezza è infinita. Oltretutto, la curva di Peano presenta una proprietà completamente paradossale. Essa è perfettamente in grado di riempire il piano in toto. Questo evento smentisce i dettami della geometria euclidea. Essa ci suggerisce che le curve sono oggetti prettamente monodimensionali. Ora che sappiamo con quale figura abbiamo a che fare, proviamo a disegnare la curva di Peano sul nostro foglio.

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Tracciare il reticolo di punti iniziale

Il primo passaggio per disegnare la curva di Peano consiste nel tracciare un primo segmento. Lo indicheremo con la lettera A. Innanzitutto procuriamoci un foglio da disegno, una matita e una riga. Iniziamo tracciando il segmento A, che divideremo poi in quattro parti uguali. Andremo ad assegnare le lettere C, D ed E a queste linee. Poniamo il caso che il segmento di partenza misuri 1. Una volta tracciato quello di partenza, sfrutteremo un generatore B e l'insieme di Cantor per ricavare gli altri segmentini. Quello che abbiamo appena citato è un sottoinsieme dell'intervallo [0, 1]. In base ad esso andremo a tracciare vari punti, i quali comporranno un reticolo sempre più fitto. Secondo l'insieme di Cantor esiste una funzione g: C → Q = [0, 1] x [0, 1]. L'immagine derivante da questa equazione altro non è che un sottoinsieme del quadrato in cui si palesa la curva di Peano.

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Sviluppare gli altri segmenti per mezzo del generatore

Proseguiamo a disegnare la nostra curva di Peano. Andremo a costruire il generatore B sul segmento A di partenza. Per continuare dobbiamo spostarci da A a C, da C a D, da D a F e da F ad E. Andremo poi avanti portandoci da E a C, da C a G e da G a L. Infine andremo da L ad E e da E a D. Arrivati a questo punto, collochiamo il generatore B su ogni lato del quadrato. Andremo progressivamente a riempire tutto il piano mediante svolgimento del processo di iterazione. Ora tracciamo i punti calcolati e colleghiamoli in modo ordinato secondo una linea spezzata. Dovremmo così ottenere una linea spezzata che si dipana sempre più fittamente su tutto il quadrato di lato unitario. Come possiamo ben vedere, la linea non si avvicina neanche un po' ad una curva  "finita". Essa infatti sta ad indicare unicamente un ordine di percorrenza dei punti scelti. Ad ogni modo il risultato è davvero sorprendente a livello visivo e concettuale.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Collegare i punti in modo corretto, seguendone attentamente l'orientamento.
  • Per capire meglio in che modo si disegna una curva di Peano, cercare qualche immagine esplicativa sul Web.
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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