Come disegnare il grafico di un'iperbole omografica

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Questa guida vuole fornire un criterio pratico per riconoscere una funzione omografica e di conseguenza disegnare l'iperbole, senza effettuare onerosi calcoli previsti dallo studio ordinario di una funzione. Si definisce omografica una qualsiasi funzione individuata da una funzione della forma:

y=((ax+b)/(cx+d)) dove a, b, c, d, sono reali.
Una tale funzione può individuare diversi tipi di luoghi geometrici nel piano, a seconda dei valori che assumono le costanti a, b, c, d.
Si chiama funzione omografica ogni funzione esprimibile come rapporto tra due binomi di primo grado.
In particolare, una funzione omografica può essere rappresentata sui seguenti supporti (grafici):
Una retta - Una funzione omografica ha per grafico una retta se c=0. Infatti l'equazione diventa proprio l'equazione di una retta in forma esplicita.
Una retta orizzontale - Una funzione omografica ha per grafico una retta otizzontale se ad=bc, in tal caso osservando d=(bc/a) otteniamo: y=a/c (parallela all'asse delle ascisse x del piano cartesiano).
Un'iperbole equilatera con asintoti che non coincidono con gli assi cartesiani, ma paralleli a essi - Si ha quando c diverso da 0 e ad diverso da bc. Diamo dunque inizio a questa guida su come disegnare il grafico di un'iperbole.

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Per tracciare il grafico di un'iperbole omografica dobbiamo innanzitutto accertarsi che si tratti di una funzione omografica. Deve presentarsi come frazione avente sia al numeratore, sia al denominatore, un'espressione di primo grado del tipo equazione retta. Un'equazione di una retta è del tipo y=Ax B. Per il denominatore useremo le lettere C e D per distinguerle dai coefficienti del numeratore. C deve essere diverso da zero, altrimenti si ottiene una retta.

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A questo punto è sufficiente trovare le equazioni degli asintoti. Iniziamo con il calcolo dell'asintoto verticale. Si pone cx d=0 e si trova il valore che annulla il denominatore. Tale valore è quello della retta verticale passante per quel punto sull'asse delle x. In generale si troverà x=-d/c. Si può tracciare l'asintoto.

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Si procede ora con il calcolo dell'asintoto orizzontale. L'equazione dell'asintoto orizzontale sarà y=... Il numero da cercare si ottiene facendo il rapporto tra i coefficienti che stanno davanti la x al numeratore e al denominatore.
Prendiamo ad esempio y=(3x-4)/(x-4).
L'asintoto verticale è x=4 e l'asintoto orizzontale è y=3 poiché il rapporto tra i coefficienti della x è 3/1.
Il grafico è quello riportato nella figura ***

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