Come disegnare il grafico di una parabola

Tramite: O2O 14/10/2018
Difficoltà: media
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Introduzione

La parabola è una delle coniche che più spesso troviamo negli esercizi, perché si ritrova spesso in altre applicazioni, come lo studio dei moti accelerati. La definiamo come il luogo geometrico i cui punti sono equidistanti da un punto fissato detto Fuoco e una retta definita Direttrice. La retta che passa per il fuoco ed è perpendicolare alla direttrice viene chiamata Asse della Parabola. Il punto in cui l'asse interseca la parabola lo indichiamo con V ed è detto Vertice della parabola. Adesso che abbiamo enunciato tutti gli elementi che caratterizzano la parabola siamo in grado di disegnare il grafico nel piano cartesiano seguendo della semplici istruzioni. Prima di tutto distinguiamo parabole con asse parallelo all'asse y e parabole con asse parallelo all'asse x. Possiamo distinguerle semplicemente guardando la loro equazione: y=ax^2+bx+c (Asse parallelo all'asse y); x=ay^2+by+c (Asse parallelo all'asse x). Esistono anche parabole che hanno altri assi di simmetria, ma sono più complicate da studiare perché richiedono una modifica del sistema di riferimento per ricondurlo ad uno fittizio in cui l'asse coincida con la parallela ad uno degli assi cartesiani, possibilmente l'asse delle ordinate.

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Occorrente

  • conoscenza di base dell'analisi matematica
  • foglio di carta
  • equazione della parabola
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Parabola verticale

Prendiamo adesso in esame le parabole con asse parallelo all'asse y. La loro equazione sarà quindi y=ax^2+bx+c con a diverso da 0, altrimenti la parabola degenera in una retta. Questo elemento già ci suggerisce il fatto che il parametro "a" regola l'apertura della parabola. Il segno del coefficiente "a" della nostra parabola ci indica anche la direzione della concavità, se questo è positivo la concavità sarà verso l'alto, se negativo verso il basso. Indichiamo l'ascissa del fuoco come Xf che è uguale a Xf=-b/2a e la sua ordinata Yf che è uguale a Yf=1-(delta)/4a. Il fuoco F avrà coordinate F (-b/2a;1-(delta)/4a). La direttrice avrà equazione y=-1+(delta)/4a. L'asse della parabola sarà passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice, quindi sarà una retta parallela all'asse y con equazione x=-b/2a. Il vertice che giace sull'asse avrà quindi ascissa uguale a quella del fuoco Xv=-b/2a e ordinata Yv=-(delta)/4a. Il vertice V avrà coordinate V (-b/2a;-(delta)/4a). Quello che è consigliato fare dopo aver determinato tutti gli elementi della parabola e averli posti nel piano cartesiano è mettere a sistema l'equazione della parabola con l'equazione degli assi cartesiani (x=0, y=0), trovando così i punti di intersezione con gli stessi. Oppure possiamo assegnare dei valori alla x nella equazione e ottenere così le rispettive ordinate y dei punti della parabola. Più avanti farò qualche esempio per visualizzare meglio quanto detto. Se volete approfondire un po' i concetti relativi alle parabole, ricordate che il vertice è un punto di massimo o di minimo per una data parabola, e si può analizzare derivandone l'espressione ed uguagliando a zero il risultato, studiando poi il segno a destra e sinistra della radice.

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Parabola orizzontale

Passiamo ora alla parabola di equazione x=ay^2+by+c (a diverso da 0) quindi parallelo all'asse x. Il coefficiente a della nostra parabola ci indica la concavità, in questo caso se questo è positivo la concavità sarà verso destra, se negativo verso sinistra. Indichiamo l'ascissa del fuoco come Xf che è uguale a Xf=1-(delta)/4a e la sua ordinata Yf che è uguale a Yf=-b/2a. Il fuoco F avrà coordinate F (1-(delta)/4a;-b/2a). La direttrice avrà equazione x=-1+(delta)/4a (non più y perché la direttrice sarà parallela all'asse y). L'asse della parabola sarà passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice, quindi sarà una retta parallela all'asse x con equazione y=-b/2a. Il vertice che giace sull'asse avrà quindi ordinata uguale a quella del fuoco Yv=-b/2a e ascissa Xv=-(delta)/4a. Il vertice V avrà coordinate V (-(delta)/4a;-b/2a). Avrai sicuramente notato che tra i due tipi di parabole si scambia semplicemente ascissa con ordinata. Anche in questo caso possiamo trovarci i punti di intersezione con gli assi cartesiani o, stavolta, assegnare dei valori alla y ottenendo così le rispettive ascisse. In un sistema cartesiano ordinario, però, la parabola orizzontale non è da considerarsi una funzione, perché allo stesso valore della variabile x corrispondono due valori della y. Quindi per studiarla non si possono fare le stesse considerazioni relative alle parabole verticali, ma nel caso in cui le si analizzi sul semipiano che va dalla retta parallela all'asse x passante per il punto di vertice V in direzione delle ordinate positive o negative, torna ad essere funzione.

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Esempi di calcolo

Facciamo qualche esempio per assimilare meglio quanto finora detto. Rappresentiamo nel piano cartesiano la parabola di equazione y=x^2-2x-3 e troviamo tutti gli elementi che la caratterizzano. "a"=1>0 implica una concavità diretta verso l'alto. Studiamo il fuoco F (-b/2a;-(delta)/4a)=F (1;-15/4). V (-b/2a;-(delta)/4a)=V (1;-4). Asse di equazione x=-b/2a quindi x=1 e direttrice di equazione y=-1+(delta)/4a=-17/4. Adesso mettiamo l'equazione della parabola a sistema con gli assi cartesiani e determiniamoci i punti di intersezione. Ponendo quindi y=0 il punto di intersezione con l'asse x saranno (-1;0) e (3;0) (abbiamo risolto l'equazione di secondo grado x^2-2x-3 per trovare x1 e x2), ponendo x=0 avremo come punto di intersezione (0;-3). Uniamo seguendo la concavità verso l'alto dal vertice i punti. Per disegnare i grafici fuoco e direttrice non sono strettamente necessari, perché la costruzione delle parabole è relativamente semplice, mentre se lo studio fa parte di un problema più complesso e articolato, è bene determinarli comunque, vista la semplicità del calcolo, perché possono servire per altre applicazioni.

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