Come disegnare il grafico di una funzione trigonometrica

La trigonometria è probabilmente l'argomento più ostico e antipatico del programma di matematica delle superiori. Si basa sullo studio dei triangoli, a partire dalla conoscenza di almeno tre tra i suoi angoli e i suoi lati. L'utilizzo però di formule che prevedono concetti lontani dalla realtà, come il seno e il coseno, spesso però confondono gli studenti. Quando poi si arriva allo studio di una funzione trigonometrica la situazione si complica, e spesso si viene scoraggiati. In realtà per disegnare il grafico di una simile funzione basta seguire il giusto procedimento. Seguendo passo dopo passo un metodo ordinato, infatti, anche affrontare questo genere di problemi diventa facile come bere un bicchier d'acqua.

• carta
• penna o matita
• righello

La prima cosa che occorre tenere a mente è che le funzioni trigonometriche sono sempre funzioni periodiche, perché si ripetono nel tempo entro un determinato intervallo, che corrisponde a 2?. Quindi la nostra funzione, qualunque essa sia, dovrà ripetersi ciclicamente con questo intervallo. Questo semplifica notevolmente il lavoro ed è un ottimo strumento di verifica. Un'altra nozione fondamentale consiste nella costruzione degli assi. Nel caso di una funzione trigonometrica, infatti, consideriamo l'asse delle ordinate come numerica e l'asse delle ascisse come trigonometrica. Ovvero l'asse delle y sarà numerata in modo classico, mentre quella delle x secondo la circonferenza, quindi prendendo in considerazione le frazioni di ?.

Prendiamo ora in esame le principali funzioni trigonometriche, per capire il loro funzionamento e poi applicarlo alle altre funzioni. La più classica è quella definita come y=sen(x). È sicuramente la prima che possiamo incontrare e la più semplice da disegnare. La funzione seno indica il valore in cui il lato dell'angolo interseca l'asse delle ordinate. Come detto, si tratta di una funzione periodica perché ricorre lo stesso valore ogni 2?. La funzione seno disegnerà un'onda, detta sinusoide, con valori che variano da -1 (a -?/2 e a 3?/2) a 1 (a ?/2 e a 5?/2) che interseca l'asse delle y nel punto o (0;0).

La funzione coseno y=cos(x) appare del tutto analoga alla funzione seno, ovvero descrive anch'essa un'onda sinusoidale. Come la funzione seno è periodica e varia nei valori da -1 a 1. Tuttavia, rispetto alla funzione seno, quella che si riferisce al coseno risulta essere traslata di ?/2. In questo caso, infatti, il valore massimo di 1 è raggiungo al punto 0 e a 2?, mentre il valore minimo -1 in ? e -?. Sia la funzione di seno che quella di coseno, quindi, sono rappresentate da un'onda continua che si ripete ogni 2?.

Una delle funzioni maggiormente riprodotte è sicuramente quella riferita alla tangente, y=tan(x). Anch'essa ha andamento periodico, ma non più di 2?, bensì di ?. Il questo caso non avremo una linea continua, bensì ad ogni intervallo avremo una curva separata. Partendo dal punto o (0;0) tracceremo due asintoti, ovvero due curve che si avvicinano in modo esponenziale alla retta perpendicolare all'asse delle ascisse che passa per i valori k?/2. Nel caso della tangente la curva che si origina dal punto o (0;0) e nei punti k? volge verso l'alto al crescere dell'ascissa e verso il basso quando decresce. Analogamente, la funzione cotangente y=cotag(x) disegna due asintoti, ma di segno opposto e sfasata rispetto alla tangente. La curva si origina non più dal punto o (0;0), bensì dal punto ?/2 (?/2;0) e k?/2 (k?/2;0), va verso l'alto al decrescere dell'ascissa e viceversa va verso il basso al suo crescere. Infine, le rette perpendicolari verso cui tendono gli asintoti passano per i punti k? (k?;0).

Le ultime funzioni che vogliamo presentare sono quelle di secante e cosecante. Si tratta di funzioni periodiche con intervallo di 2?, che disegnano una curva non continua che non interseca mai l'ascissa. La funzione secante y=sec(x) descrive anch'essa l'insieme di due asintoti, ma a differenza della funzione tangente non sono opposte bensì hanno la stessa direzione. Partendo dal punto a (0;1) gli asintoti volgono entrambe verso l'alto, sia al decrescere che al crescere della x, e si avvicinano alle rette y=?/2 e y=-?/2. Nell'intervallo ?/2 e 3?/2, invece, gli asintoti partono dal punto b (?;-1) e vanno entrambe verso il basso. Avremo quindi due curve opposte che si ripetono ogni 2?. La funzione cosecante y=csc(x) ha a stessa periodicità, ma risulta sfasata. La curva verso l'alto si origina dal punto c (?/2;1), mentre le curve verso il basso dai punti d (3?/2;-1), ripetendo l'andamento ogni 2?.

• Nell'ambito delle funzioni trigonometriche, l'esercizio è fondamentale.
• Aiutarsi sempre con i grafici delle principali funzioni trigonometriche.

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