Come disegnare il grafico di una funzione omografica

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tramite: O2O
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Introduzione

Una funzione omografica si definisce tale quando è individuata da una funzione che possiede la forma di y = (ax + b) / (cx + d). Le lettere a, b, c, e d appartengono all'insieme dei numeri reali e tutta la formula permette di arrivare all'individuazione di vari luoghi geometrici in base ai valori assunti dalle quattro costanti. Vediamo insieme come si può disegnare il grafico di una funzione omografica e quali sono i dati da tenere presenti. Seguite quindi questa semplicissima ma utile guida che vi permetterà al termine dei passaggi di avere una funzione omografica da poter poi applicare ed utilizzare ad i vari esercizi. Guardiamo quindi insieme come fare per disegnare il grafico della funzione.

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Condizioni Generali

Il grafico rappresentativo di questa funzione può essere costituito da una retta oppure da un'iperbole equilatera. Quest'ultima deve avere degli asintoti che non coincidono con i due assi del piano cartesiano, ma che si presentano paralleli ad essi. Ci sono delle regole e delle condizioni che vanno rispettate durante tutto lo svolgimento del ragionamento e il suo disegno. La funzione deve avere c = 0 affinché si tratti di una retta, così da avere: y = a/dx + b/d. Se si tratta di una retta orizzontale si avrà, invece, che ad = bc e quindi y = a/c.

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Condizioni dell'iperbole equilatera

Per quanto riguarda l'iperbole equilatera, si devono avere le condizioni: c diverso da zero e diverso da bc. In questi casi le equazioni degli asintoti provengono dalle relazioni: y = a/c e x = - d/c. A questo punto si deve stabilire il centro di simmetria che avrà le seguenti coordinate: (- d/c; a/c). Adesso non resta che determinare la costante per poter individuare con facilità sia i vertici che i fuochi del disegno. Per i primi elementi varranno le formule: F1 (- d/c + √2k, a/c + √2k) e F2 (- d/c - √2k, a/c - √2k). Per individuare i vertici si possono applicare i seguenti calcoli: V1 (- d/c + √k, a/c + √k) e V2 (- d/c - √k, a/c - √k).

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Condizioni della retta

Quando tutti i dati sono stati trovati, si deve effettuare un controllo dei calcoli per poter verificare che tutti corrispondano, evitando così di realizzare un grafico errato e doverlo iniziare dal principio. Se tutti i conti tornano, si deve tracciare il piano cartesiano e si devono fissare i vertici e i fuochi al fine di disegnare l'iperbole equilatera. Nel caso in cui ci si trovi dinanzi ad una semplice retta allora non servirà altro che riportare i dati relativi ad essa sui quadranti corrispondenti. Al termine poi, come negli altri casi, si dovrà procedere controllando i dati e la formula. A questo punto sarete quindi in grado di risolvere al meglio i vostri problemi ed i relativi grafici.

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