Come disegnare il grafico di una funzione fratta

Quando si tratta di studiare le funzioni sorgono sempre qualche perplessità: questo perché, per quanto la funzione possa essere semplice, lo studio risulta sempre molto lungo da svolgere, in quanto ogni passo è necessario e sufficiente per il passo successivo. Lo studio della funzione in sè ovviamente ha un unico scopo: quello di poter disegnare il grafico della funzione stessa, che sia essa un polinomio o una funzione fratta. In generale, prima di iniziare si preferisce prendere un foglio pulito a quadretti su cui si andrà ad eseguire il disegno preparatorio che poi andrà ricopiato accanto all'esercizio stesso. Ecco quindi come disegnare il grafico di una funzione fratta.

• Carta
• Calcolatrice
• Penna
• Compasso
• Goniometro

Il primo passo da fare per poter trovare il grafico della funzione è stabilire il suo dominio, cioè il campo di esistenza in cui andare a disegnare la funzione stessa. Visto che noi prendiamo in considerazione una funzione fratta, il dominio della stessa sarà il suo denominatore diverso da 0, in quanto una frazione non può essere divisibile per 0. Una volta aver trovato la soluzione, che in generale è uno o una serie di punti, si disegnino sul grafico e in corrispondenza dei punti si traccino delle linee tratteggiate. Un ulteriore passo da eseguire è l'intersezione con gli assi. Per l'asse x, basterà porre y=0 quindi in sostanza la funzione =0; per l'asse y invece basterà porre x=0 e ottenere quindi y= un numero. Trovati questi punti, segnarli a loro volta sul grafico, in quanto serviranno per disegnare la funzione finale.

Il prossimo passo da seguire è capire il segno della funzione, cioè dove essa è positiva e negativa. Porre quindi la funzione maggiore o uguale a 0 e risolvere quindi la disequazione. Da questa usciranno degli intervalli che mostreranno dove la funzione andrà disegnata. Cancellare con dei segnetti i pezzi di grafico che non sono contenuti negli intervalli sopra trovati. Il prossimo passo è lo studio dei limiti. In generale i limiti che si studiano più frequentemente sono quelli per gli infiniti, negativi e positivi, e quelli per tutti i punti trovati fino ad ora. Un esempio sono i punti del dominio, di intersezione e cosi via. Una volta calcolato i limiti, è già possibile eseguire un disegno di base che ci permetterà di capire in generale l'andamento della funzione stessa. Esso tuttavia non sarà sempre affidabile in quanto, nei riquadri da noi disegnati, la funzione potrebbe salire e scendere più volte, generando un grafico leggermente differente.

Questa parte di guida riguarda tutti gli studenti che hanno già trattato l'argomento delle derivate: esse infatti risultano utili per capire come la funzione si muove negli intervalli. Studiando la prima derivata è infatti possibile trovare i massimi e i minimi della funzione stessa. Essi non saranno nient'altro che punti in cui la funzione prima sale e poi scende oppure viceversa. Una volta trovati e segnati sul grafico, potremmo eseguire un disegno più accurato. Tuttavia manca ancora un pezzo prima di poter dire che il grafico è concluso: la concavità. Essa si ottiene studiando la derivata seconda e una volta ottenuti gli intervalli si potrà stabilire dove la funzione curva e in quali punti.

• In caso di incongruenze nei vari di risultati, controllare attentamente i calcoli

• Studio di funzione con esempio