Come disegnare il grafico di una funzione esponenziale

Una funzione esponenziale secondo la definizione matematica è un numero che viene elevato a potenza, partendo da una base che è un numero e che spesso è costituita dalla così detta base naturale o numero di Eulero ?e?. Si possono studiare funzioni esponenziali con base ed esponente arbitrario, ed ambedue possono essere a loro volta funzioni. In questa guida ci limiteremo a studiare come tracciare il grafico di una funzione esponenziale "semplice" del tipo f(x)=e^x, che è alla base del metodo da applicare per disegnare funzioni molto più articolate.

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Il numero di Nepero "e" non è l'unica base possibile per una funzione esponenziale, ma gode di una posizione peculiare fra i numeri reali, perché è ricorrente in moltissime applicazioni. Le funzioni trigonometriche ordinarie e iperboliche sono per esempio rappresentate come somme e rapporti di esponenziali complessi, così come moltissimi comportamenti fisici. Il numero e a quanto pare è fondamentale per l'universo, ma ha un valore difficile da scrivere: e=2,71828 18284 59045 23536 ecc ecc . Si tratta di un numero irrazionale, che si trova con una funzione trascendente e che quindi non è possibile scrivere compiutamente. Ciò nonostante è indispensabile e viene usato continuamente in miliardi di applicazioni ogni giorno.

La funzione esponenziale ordinaria f(x)=e^x ha dominio su tutti i reali, ossia, non esiste un numero reale per il quale la funzione non assume un valore reale. Si tratta anche di una funzione illimitata a destra, il che significa che calcolandone il limite per x che tende all'infinito, si ottiene un numero che tende all'infinito. A sinistra invece la funzione tende a zero, ossia calcolandone il limite per x che tende a meno infinito, f(x) tende a zero. Tende ma non si annulla: l'equazione e^x=0 non ha radici reali o complesse. Interpretando l'elevamento a potenza come una forma per il prodotto, poi e^x calcolato per x=0 restituisce 1 come valore e questa condizione vale a prescindere dalla base. Infatti b^0 con b reale o complesso qualsiasi vale sempre 1 per definizione. Abbiamo quindi trovato il comportamento della funzione in tre zone, ossia gli estremi destro e sinistro e lo 0. Dobbiamo adesso passare allo studio nel resto del dominio.

Se la funzione esponenziale è ordinaria f(x)=e^x, è infinitamente derivabile con derivata non nulla su tutto il domino ed uguale alla funzione stessa. Anche l'integrale della funzione è uguale a e^x a meno ovviamente del termine costante. Questa proprietà, unita alla mancanza di radici di fornisce alcune indicazioni importanti: e^x non ha massimi, minimi, punti di flesso e altri punti legati alle derivate di ordine n-mo. È monotona crescente, non cambia cioè concavità in nessun punto. Essendo monotona crescente e senza radici non cambia mai di segno ed è anche sempre positiva, perché il segno della base è positivo. Se la base fosse negativa, ovviamente il grafico sarebbe lo stesso riflesso rispetto all'asse x. La concavità della f(x) è sempre rivolta verso l'alto per base positiva.

Per cronaca, se la base b della funzione è b>1 il comportamento è assimilabile a quello della funzione con base e, cambia solo la velocità, se si deve studiare per base b=1, la funzione si riduce ad 1 su tutto il dominio. Per base 0

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