Come disegnare il grafico di una funzione composta

Lo studio delle funzioni è uno degli argomenti più importanti della matematica che si studia alle scuole superiori. Esistono funzioni semplici, e funzioni composte, fra le altre. Quelle composte sono in pratica formate dalla combinazione non lineare di due o più funzioni semplici come per esempio y=sin[log(x)] e non differiscono molto dalle altre. Quando si va a rappresentarne il grafico, però ci sono alcune questioni da comprendere per riuscire a sfruttare tutte gli strumenti acquisiti fino ad ora. Vediamo quindi come disegnare il grafico di una funzione composta.

• Carta
• Matita
• Calcolatrice

Il dominio di una funzione composta si studia per livelli, perché si tratta in qualche modo di sfruttare le proprietà delle sue varie componenti. Se la funzione avesse la forma y=f(g(x)) la prima cosa da studiare è il campo si esistenza delle g(x), valutandone contestualmente le radici, i valori proibiti e i limiti. In questa maniera otterremo il grafico di una prima funzione che potremmo anche tracciare a matita sul disegno intermedio dall'andamento, per aiutarci anche sul piano visuale a capire dove andare a lavorare.

Una volta costruita un'idea sull'andamento della funzione argomento si deve passare a studiare la funzione principale, proprio come se al posto della g(x) ci fosse una variabile ausiliaria t che ci serve per ricostruire la forma attesa. L'impiego della variabile ausiliaria ci permette di andare a determinare nuovamente le radici, i valori proibiti e tutto quanto il resto. A questo punto però dobbiamo andare a confrontare ciò che abbiamo ottenuto al punto precedente e completare lo studio. L'asse "t" che è un ausiliario dell'asse "x" avrà un andamento particolare e se ne deve tener di conto.

Non resta altro che unire le funzioni che abbiamo studiato fino ad ora. Il grafico che si ottiene mantiene un po' delle caratteristiche di quello in t ma modulate dal cambio di variabile. Facciamo un rapido esempio: y=sen(x^2+1). Studiando g(x)=x^2+1 questa funzione non presenta radici, all'infinito vale infinito ed è sempre positiva. La funzione composta sarà simile ad un seno ma sarà simmetrica rispetto all'asse y, come la parabola dell'argomento, non sarà periodica ma resterà oscillante e via discorrendo. Se la funzione per esempio fosse stata y=log|x| ci troveremmo ad avere un grafico di un logaritmo normalissimo, a destra e lo stesso grafico specchiato rispetto all'asse y a sinistra perché la funzione modulo ha alterato il dominio della funzione logaritmo permettendone il calcolo anche a sinistra dell'asse coordinato.

• Riportate anche il grafico della funzione argomento per aiutarvi

• Funzioni composte