Come disegnare il grafico della somma di funzioni

Tramite: O2O 28/12/2015
Difficoltà: media
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Introduzione

Quello che vogliamo spiegare in questo articolo è come calcolare e disegnare la somma di due funzioni, sia dal punto di vista grafico, che da quello algebrico.
Tenendo presente che una qualsiasi funzione stabilisce un legame tra la variabile dipendente (y) e quella indipendente (x), se vogliamo sommare due funzioni, che per comodità chiameremo f (x) e g (x), abbiamo due metodi validi che ci possono aiutare nel compito. Il primo metodo sarà un metodo più grafico, utile agli inizi e con funzioni semplici, e ideale se dobbiamo desumere la somma f (x)+g (x) in un grafico in cui le due siano già rappresentate separatamente. Il secondo metodo, invece, è più generale e sempre applicabile nel calcolare e rappresentare f (x)+g (x), date le due funzioni di partenza.

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Primo metodo:
Consideriamo le funzione f (x) = 2x - 1 e g (x)= -x-1. Esse sono due rette e, scegliendo arbitrariamente due valori per la x, si possono calcolare i due punti da cui passerà f (x) e i due da cui passerà g (x).
Per x = -3 si ha f (x) = -7 ossia il punto (-3;-7) sul grafico
Per x = -2 si ha f (x) = -5 ossia il punto (-2;-5) sul grafico f (x) passerà quindi per i punti A (-3;-7) e B (-2; -5)
Facendo la stessa operazione con g (x) si otterranno i punti C (-3; 2) e D (-2; 1) da cui passerà g (x).

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Ora per avere f (x)+g (x) si potranno semplicemente sommare le ordinate trovate precedentemente e trovare, così, i due punti da cui passerà la retta y=f (x)+g (x). Possiamo così disegnare f (x)+g (x) e notare che f (x)+g (x)=(f+g)(x)= 2x-1-x-1= x-2. Questo sarà, poi, il metodo generale per trovare la somma di due funzioni.

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Questo metodo del disegnare la funzione per punti sarà decisamente utile in esercizi in cui vengono date due funzioni sconosciute già disegnate e dobbiamo disegnare la funzione somma delle due. Nell'esempio riportato in figura vediamo due curve di cui non si conosce l'equazione. Per disegnare la curva somma si scelgono 5 punti sulla prima che abbiano uguale ascissa di 5 punti sulla seconda e, sommando le ordinate dei punti con ascissa uguale, si trovano altri 5 punti che saranno 5 punti della funzione somma. Naturalmente più punti si prenderanno in considerazione, più la curva somma sarà precisa.

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Secondo metodo:
Ora, però, vediamo il metodo generale. Se ho due funzioni qualsiasi, f (x) e g (x), il grafico della funzione somma sarà equivalente al grafico della funzione h (x)=(f+g)(x). Facendo un esempio: Se f (x)= x^2-1 e g (x)= 2x-1; f (x)+g (x)= x^2+2x-2. A questo punto h (x)= x^2+2x-2 sarà una parabola che possiamo disegnare sia per punti (nel caso non abbiamo ancora studiato l'equazione della parabola) o col metodo classico trovando il vertice e le intersezioni con gli assi (nel caso abbiamo già studiato l'equazione della parabola). Ciò vale per tutte le funzioni.

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