Come disegnare il grafico della somma di funzioni

Quello che vogliamo spiegare in questo articolo è come calcolare e disegnare la somma di due funzioni, sia dal punto di vista grafico, che da quello algebrico.
Tenendo presente che una qualsiasi funzione stabilisce un legame tra la variabile dipendente (y) e quella indipendente (x), se vogliamo sommare due funzioni, che per comodità chiameremo f (x) e g (x), abbiamo due metodi validi che ci possono aiutare nel compito. Il primo metodo sarà un metodo più grafico, utile agli inizi e con funzioni semplici, e ideale se dobbiamo desumere la somma f (x)+g (x) in un grafico in cui le due siano già rappresentate separatamente. Il secondo metodo, invece, è più generale e sempre applicabile nel calcolare e rappresentare f (x)+g (x), date le due funzioni di partenza.

Primo metodo:
Consideriamo le funzione f (x) = 2x - 1 e g (x)= -x-1. Esse sono due rette e, scegliendo arbitrariamente due valori per la x, si possono calcolare i due punti da cui passerà f (x) e i due da cui passerà g (x).
Per x = -3 si ha f (x) = -7 ossia il punto (-3;-7) sul grafico
Per x = -2 si ha f (x) = -5 ossia il punto (-2;-5) sul grafico f (x) passerà quindi per i punti A (-3;-7) e B (-2; -5)
Facendo la stessa operazione con g (x) si otterranno i punti C (-3; 2) e D (-2; 1) da cui passerà g (x).

Ora per avere f (x)+g (x) si potranno semplicemente sommare le ordinate trovate precedentemente e trovare, così, i due punti da cui passerà la retta y=f (x)+g (x). Possiamo così disegnare f (x)+g (x) e notare che f (x)+g (x)=(f+g)(x)= 2x-1-x-1= x-2. Questo sarà, poi, il metodo generale per trovare la somma di due funzioni.

Questo metodo del disegnare la funzione per punti sarà decisamente utile in esercizi in cui vengono date due funzioni sconosciute già disegnate e dobbiamo disegnare la funzione somma delle due. Nell'esempio riportato in figura vediamo due curve di cui non si conosce l'equazione. Per disegnare la curva somma si scelgono 5 punti sulla prima che abbiano uguale ascissa di 5 punti sulla seconda e, sommando le ordinate dei punti con ascissa uguale, si trovano altri 5 punti che saranno 5 punti della funzione somma. Naturalmente più punti si prenderanno in considerazione, più la curva somma sarà precisa.

Secondo metodo:
Ora, però, vediamo il metodo generale. Se ho due funzioni qualsiasi, f (x) e g (x), il grafico della funzione somma sarà equivalente al grafico della funzione h (x)=(f+g)(x). Facendo un esempio: Se f (x)= x^2-1 e g (x)= 2x-1; f (x)+g (x)= x^2+2x-2. A questo punto h (x)= x^2+2x-2 sarà una parabola che possiamo disegnare sia per punti (nel caso non abbiamo ancora studiato l'equazione della parabola) o col metodo classico trovando il vertice e le intersezioni con gli assi (nel caso abbiamo già studiato l'equazione della parabola). Ciò vale per tutte le funzioni.

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