Come disegnare i cerchi di Mohr

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Il cerchio di Mohr costituisce una rappresentazione grafica dello stato piano di tensione interna in un punto, proposta da un ingegnere tedesco nel 1892. La rappresentazione è costruita riportando sopra un opportuno piano (denominato il piano di Mohr), le componenti normali e le tangenziali dello stato di tensione su un generica giacitura passante per il punto. Al variare della giacitura nel piano del problema, i punti rappresentativi dello stato tensionale, descrivono nel piano di Mohr una circonferenza che costituisce il perimetro di quello che viene detto appunto cerchio di Mohr. La conoscenza del cerchio di Mohr consente di ricostruire lo stato tensionale su una qualsiasi giacitura passante per il punto, ed in particolar modo di individuare le tensioni principali e le direzioni del problema sul piano di tensione. Nei passi seguenti di questa semplice ed esauriente guida andremo a spiegare, in maniera completamente dettagliata, come si possono disegnare i cerchi di Mohr.

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Per prima cosa, possiamo supporre di avere un solido sottoposto ad una sollecitazione. In un ben preciso punto del solido stesso si troverà una tensione normale ed una tangenziale. Per tutti quanti gli altri punti esistono due piani ortogonali tra di loro, nei quali le tensioni tangenziali risultano essere nulle. Le tensioni normali agenti su questi piani sono denominate "Tensioni principali". Le tensioni principali sono due: una è quella di tensione (Sigma’ = S’), mentre l’altra è di compressione (Sigma’’ = S’’). Sono due tensioni sono tra di loro di segno opposto. Consideriamo, ora, un generico punto P nel solido, nonché la sezione retta passante per il punto stesso. Nel punto P agiranno le seguenti componenti: una normale, che chiameremo "S0", mentre un'altra tangenziale, la quale andremo a definire "t0". Invece, andremo ad indicare con la lettera A l’angolo compreso tra la sezione retta ed il piano ortogonale a S'.

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Una volta che sono conosciuti i valori della componente normale S0 e della componente tangenziale t0, sarà finalmente possibile andare a calcolare le tensioni principali S’ e S’’ in forma matematica. Per avere unitamente alla soluzione analitica, una risoluzione grafica, è possibile andare a costruire il cerchio di Mohr. In buona sostanza il cerchio di Mohr rappresenta quello strumento molto efficiente, il quale permette di valutare le tensioni normali e le tangenziali con un procedimento grafico per un determinato piano di sezione. Oppure può anche determinare i piani sui quali agiscono i massimi valori delle tensioni normali e di quelle tangenziali.

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A questo punto andremo ad individuare, nel nostro piano, il punto P ed i punti M e N. Le coordinate dei punti sono le seguenti: P (S0, t0); M (S0, 0); N (0, t0). Le tensioni principali S' e S'' sono pari alla somma del raggio r e a metà della componente normale S0. Esistono due conformazioni particolari relative a due particolari stati di sollecitazione.

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Occorre precisare che sulla sezione normale la tensione normale è nulla (ovvero si ha che S0 = 0) e sono presenti esclusivamente tensioni tangenziali. In questo caso il cerchio di Mohr presenta il centro nell'origine degli assi ed entrambe le tensioni principali hanno un valore T0 ed agiscono sui piani che si trovano inclinati di 45° rispetto alla sezione retta. Sulla sezione normale la tensione tangenziale è nulla (ovvero si ha T = 0), e sono presenti soltanto delle tensioni normali. La tensione principale positiva S’ assumerà valore S’, mentre la tensione principale negativa S’’ sarà nulla (S' = S' e S'' = 0). Queste sono soltanto delle piccole nozioni, ovviamente, che andrebbero approfondite sui libri di testo. Vi forniamo anche un link che potrete visionare con calma, approfondendo l'argomento in questione. Sperando di esser stati d'aiuto agli studenti di questa disciplina, che rientra nell'ambito della geotecnica, non ci rimane altro da fare che augurarvi buono studio.

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