Come disegnare i cerchi di Mohr
Introduzione
Il cerchio di Mohr costituisce una rappresentazione grafica dello stato piano di tensione interna in un punto, proposta da un ingegnere tedesco nel 1892. La rappresentazione è costruita riportando sopra un opportuno piano (denominato il piano di Mohr), le componenti normali e le tangenziali dello stato di tensione su un generica giacitura passante per il punto. Al variare della giacitura nel piano del problema, i punti rappresentativi dello stato tensionale, descrivono nel piano di Mohr una circonferenza che costituisce il perimetro di quello che viene detto appunto cerchio di Mohr. Ecco come disegnare i cerchi di Mohr.
Calcolo delle tensioni
Per prima cosa, possiamo supporre di avere un solido sottoposto ad una sollecitazione. In un ben preciso punto del solido stesso si troverà una tensione normale ed una tangenziale. Per tutti quanti gli altri punti esistono due piani ortogonali tra di loro, nei quali le tensioni tangenziali risultano essere nulle. Le tensioni normali agenti su questi piani sono denominate "Tensioni principali". Le tensioni principali sono due: una è quella di tensione (Sigma? = S?), mentre l?altra è di compressione (Sigma?? = S??). Sono due tensioni sono tra di loro di segno opposto. Consideriamo, ora, un generico punto P nel solido, nonché la sezione retta passante per il punto stesso. Nel punto P agiranno le seguenti componenti: una normale, che chiameremo "S0", mentre un'altra tangenziale, la quale andremo a definire "t0". Invece, andremo ad indicare con la lettera A l?angolo compreso tra la sezione retta ed il piano ortogonale a S'.
Costruzione del cerchio di Mohr
Una volta che sono conosciuti i valori della componente normale S0 e della componente tangenziale t0, sarà finalmente possibile andare a calcolare le tensioni principali S? e S?? in forma matematica. Per avere unitamente alla soluzione analitica, una risoluzione grafica, è possibile andare a costruire il cerchio di Mohr. In buona sostanza il cerchio di Mohr rappresenta quello strumento molto efficiente, il quale permette di valutare le tensioni normali e le tangenziali con un procedimento grafico per un determinato piano di sezione. Oppure può anche determinare i piani sui quali agiscono i massimi valori delle tensioni normali e di quelle tangenziali. A questo punto andremo ad individuare, nel nostro piano, il punto P ed i punti M e N. Le coordinate dei punti sono le seguenti: P (S0, t0); M (S0, 0); N (0, t0). Le tensioni principali S' e S'' sono pari alla somma del raggio r e a metà della componente normale S0. Esistono due conformazioni particolari relative a due particolari stati di sollecitazione.
Individuazione delle tensioni
Occorre precisare che sulla sezione normale la tensione normale è nulla (ovvero si ha che S0 = 0) e sono presenti esclusivamente tensioni tangenziali. In questo caso il cerchio di Mohr presenta il centro nell'origine degli assi ed entrambe le tensioni principali hanno un valore T0 ed agiscono sui piani che si trovano inclinati di 45° rispetto alla sezione retta. Sulla sezione normale la tensione tangenziale è nulla (ovvero si ha T = 0), e sono presenti soltanto delle tensioni normali. La tensione principale positiva S? assumerà valore S?, mentre la tensione principale negativa S?? sarà nulla (S' = S' e S'' = 0). Queste sono soltanto delle piccole nozioni, ovviamente, che andrebbero approfondite sui libri di testo.
Realizzazione cerchio di Mohr
Per disegnare il cerchio di Mohr per lo sforzo, lo stato di sollecitazione (?, ?) che agisce e l'orientamento devono essere conosciuti su due diversi piani che passano attraverso un punto in un materiale. Un ulteriore requisito è il centro del cerchio di Mohr che si trova sull'asse delle ascisse (asse ?). La coordinata ? per il centro del cerchio può essere ottenuta dalla seguente equazione: ? ave = ? x + ? y 2, dove ?x e ?y sono le tensioni normali che agiscono sui due piani perpendicolari.
Per questo caso speciale, il centro del cerchio può anche essere ottenuto graficamente tracciando i due punti che rappresentano i due stati noti di stress nello spazio di Mohr e tracciare una linea retta tra i due punti. L'intersezione di questa retta e l'asse ? è la posizione del
centro del cerchio.
Risoluzione grafica
Per il caso generale in cui i due piani non sono perpendicolari il centro del cerchio può essere ottenuto graficamente come segue: disegnare una linea retta tra i due punti di tensione. E trovare il punto medio della linea retta. Disegnare una bisettrice perpendicolare dal punto medio della retta verso l'asse ?. L'intersezione della bisettrice perpendicolare e l'asse ? ed è il centro del cerchio. Una volta stabilito il centro del cerchio, tracciare il cerchio di Mohr posizionando la punta della matita su uno dei punti (?, ?) e mantenendo lo stesso raggio. Passare attraverso l'altro punto (?, ?). In caso contrario, continuare a provare finché non si trova il centro corretto del
cerchia in modo che si trovi sull'asse ? e attraverso entrambi i punti (?, ?).
Risoluzione analitica
Il cerchio di Mohr può essere risolto graficamente o analiticamente. In entrambi i casi, ci sono due metodi che possono essere utilizzati: il metodo del doppio angolo e il metodo del polo. Non importa quale combinazione dei metodi si usa, il primo passo è disegnare il cerchio di Mohr come descritto in precedenza. Poiché i valori di (?, ?) e gli angoli tra i piani saranno misurati graficamente, il cerchio di Mohr dovrà essere disegnato in scala usando la stessa scala per entrambi gli assi. Se è disegnato a mano, disegnare il cerchio su una scala il più ampia possibile che si adatti al pezzo di carta che si sta utilizzando. Ci sono due regole che devono essere usate per risolvere i problemi circolari di Mohr usando il doppio angolo; è fondamentale nel primo caso disegnare la linea radiale dal centro del cerchio di Mohr attraverso un punto (?, ?) sul cerchio
rappresentando la direzione del piano su cui (?, ?) agisce. La direzione della linea radiale non deve essere uguale alla direzione del piano reale, tranne che per coincidenza.