Come dimostrare una funzione suriettiva

La matematica, come detto moltissime volte, è una materia tanto affascinante quanto difficile da apprendere. Non sono pochi, infatti, gli studenti che, durante i loro anni di studio, si ritrovano a doversi barcamenare con l'apprendimento di questa materia. Le difficoltà maggiori derivano da una scarsa conoscenza delle basi, indispensabili per poter capire ed apprendere operazioni più complesse come le tanto temute funzioni. Ma la matematica è anche una materia piuttosto affascinante che, se compresa, potrà aprirvi un mondo veramente interessante. Cerchiamo di capire ora come dimostrare la suriettività di una funzione partendo proprio dalla definizione di "funzione".
Una funzione non è altro che una corrispondenza univoca tra due insiemi A e B:
f: A -> B
(leggi: "f da A a B").
Essa rappresenta una legge che associa ad ogni elemento dell'insieme di partenza A (indicato con la lettera "x" e che viene rappresentata graficamente sull'asse orizzontale delle ascisse) un unico elemento dell'insieme di arrivo B (indicato con la lettera "y" e rappresentato sull'asse verticale delle ordinate). L'insieme A, o insieme dei valori che assume la variabile indipendente "x", è detto "dominio" o "insieme di esistenza della funzione" e i suoi elementi prendono il nome di "preimmagine" o "controimmagine". L'insieme B non è altro che l'insieme dei valori assunti dalla variabile dipendente "y" e costituisce l'insieme di variabilità della funzione o "codominio" della stessa. Gli elementi del codominio che corrispondono alle controimmagini dell'insieme A sono chiamati "immagine".
A questo punto, è possibile effettuare una prima importantissima suddivisione delle funzioni in base alla relazione che si viene a creare tra il dominio e il codominio. Si è soliti classificare le funzioni in tre categorie: iniettiva, suriettiva e biettiva. Dopo aver definito in maniera rigorosa le tre classi, verrà spiegato come dimostrare che una funzione è suriettiva. Attraverso pochi e semplici passaggi, inoltre, saranno date alcune indicazioni che ti aiuteranno a capire meglio.

Iniziamo con il definire il concetto di iniettività. Una funzione f, definita da un insieme A ad un insieme B, è iniettiva se, considerati due elementi qualsiasi e distinti dell'insieme A, x1 e x2, allora anche le loro immagini in B, f(x1) e f(x2), saranno distinte.Una definizione equivalente consiste nell'affermare che una funzione è iniettiva se ad ogni immagine corrisponde un'unico elemento del dominio. Il ragionamento può essere parallelamente condotto assumendo che i due valori considerati in A siano uguali tra di loro. In questo caso anche le loro immagini in B dovranno essere uguali. Esempi di funzioni iniettive sono la retta, la radice quadrata, il logaritmo e l'esponenziale. Non è però detto che per la funzione f, definita da un insieme A e da un insieme B, tutti gli elementi di B siano l'immagine di un elemento di A: possono esservi in B degli elementi che non è possibile ottenere attraverso f(x) partendo da un qualsiasi elemento di A. In questo caso le immagini sono un sottoinsieme del codominio B.

Una funzione (tra due insiemi qualsiasi, non necessariamente reale di variabile reale), è suriettiva se il codominio della funzione coincide con l'intero insieme B. Ciò avviene quando l'insieme B e il codominio della funzione f sono ugualmente estesi. Per capire meglio tale concetto va ricordato che una funzione comprende tre elementi: la relazione y = f(x), l'insieme di partenza e l'insieme di arrivo. Quest'ultimo non è detto che coincida con il codominio dell'espressione y = f (x) e, nel caso in cui ciò non avvenga, il codominio è un sottoinsieme dell'insieme di arrivo e la funzione non è suriettiva. Si può anche affermare, in maniera equivalente, che una funzione è suriettiva se per ogni elemento y del codominio esiste almeno un elemento x del dominio che abbia y come immagine, naturalmente tramite la relazione y=f(x).

La differenza tra i concetti di iniettività e suriettività è quindi notevole. Una funzione può essere iniettiva e non suriettiva; può, per esempio, avere un codominio che sia un sottoinsieme di B. Se una funzione è sia iniettiva che suriettiva è detta biettiva, o biunivoca. Quindi, in una funzione biunivoca non solo a ogni elemento dell'insieme A si può associare uno e un solo elemento di B, ma anche a ogni elemento di B corrisponde uno e un solo elemento di A. Una funzione di questo tipo è invertibile e la funzione f^(-1): B -> A si chiama inversa.

Ora si cercherà di descrivere il metodo analitico necessario per dimostrare che una funzione sia effettivamente suriettiva. Innanzitutto, bisogna calcolare il dominio e il codominio della funzione e verificare che ogni elemento del codominio sia immagine di un elemento del dominio. Se il dominio e il codominio hanno la stessa estensione, la funzione potrebbe anche essere iniettiva, quindi biunivoca e invertibile.Facciamo degli esempi pratici.
Consideriamo, ad esempio, la retta: y=-x. Si vede subito che, se si va a sostituire un qualsiasi valore numerico reale alla y, si ottiene sempre un valore reale per la x. Dominio e codominio avranno, dunque, la stessa estensione: l'insieme dei numeri Reali. Prendiamo in considerazione la parabola: y=x^2 + 4. Andiamo a cercare le preimmagini per il valore y=8. Sostituendo tale valore alla y otterremo: x^2 = 8 - 4 = 4. Dunque: x1 = 2, x2 = -2. La funzione sembra suriettiva. Se, però, consideriamo, per y, un valore inferiore a 4 (prendiamo ad esempio 3) otteniamo: x^2 = 3 - 4 = -1. Come sappiamo x^2 deve essere un numero positivo per poter svolgere la radice, dunque non esistono soluzioni reali per y=3. La funzione non è suriettiva perché non esistono valori inferiori a y=4 che abbiano controimmagini nel dominio.
Una funzione non suriettiva può, però, essere resa tale andando a far coincidere il codominio con il solo sottoinsieme delle immagini. Riducendo il codominio da Cod=R a Cod=[4, infinito) la parabola considerata diventa una funzione suriettiva.

Può essere molto utile e veloce anche procedere graficamente, qualora si sia in grado di rappresentare in maniera grafica la funzione oggetto di studio. In questo modo è possibile osservare con immediatezza se ogni elemento del codominio trova corrispondenza nel dominio o meno. Per esempio, facendo i grafici delle seguenti funzioni, è possibile notare immediatamente che la retta è una funzione biunivoca (perché è sia iniettiva che suriettiva), la parabola è solo suriettiva, le cubiche sono biunivoche.Per comprendere meglio ed iniziare a prendere confidenza con i metodi descritti negli esempi appena svolti, prendi carta e penna e prova a dimostrare anche tu, sia in maniera analitica che grafica, la suriettività di quelle funzioni (magari sostituendo alla y valori scelti da te).

Come si può notare, la suriettività deve essere dimostrata caso per caso. Non esiste una formula risolutiva applicabile a ciascuna funzione oggetto di studio ma, di volta in volta, bisogna applicare i concetti generali finora citati.
In conclusione possiamo affermare che la dimostrazione della suriettività di una funzione è un procedimento abbastanza semplice ma c'è bisogno di pratica e, soprattutto, è necessario conoscere bene la teoria alla base dei meccanismi utilizzati nella risoluzione.

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