Come dimostrare la non numerabilità dell'insieme R

L'esempio più noto di un insieme non numerabile è l'insieme R di tutti i numeri reali; l'argomento diagonale di Cantor dimostra che questo insieme è incalcolabile. La tecnica della diagonalizzazione può anche essere usata per mostrare che molti altri insiemi sono innumerevoli, come ad esempio l'insieme di tutte le sequenze infinite di numeri naturali e l'insieme di tutti i sottoinsiemi dell'insieme dei numeri naturali. La cardinalità di R è spesso chiamata la cardinalità del continuo e indicata con C. L'insieme di Cantor è un sottoinsieme incalcolabile di R. La Cantor set è un frattale e ha dimensione di Hausdorff maggiore di zero, ma meno di un R (R ha dimensione uno). Ecco quindi comebdimostrare la non numerabilità dell'insieme R.

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Per capire come dimostrare la non numerabilità dell'insieme R, facciamo un esempio. Questo è un esempio del seguente fatto: qualsiasi sottoinsieme di R della dimensione di Hausdorff rigorosamente deve essere incalcolabile maggiore di zero. Un altro esempio di un insieme non numerabile è l'insieme di tutte le funzioni da R a R. Questo set è ancora "più incalcolabile" di R, nel senso che la cardinalità di questo insieme è 2, che è più grande di 1. Un esempio più astratto di un insieme non numerabile è l'insieme di tutti i numeri ordinali numerabili, indicati con ? o ?1. La cardinalità di ? è denotato N1. Si può dimostrare, con l'assioma di scelta, che N1 è il più piccolo numero cardinale non numerabile.

Così sia 1, la cardinalità dei reali, è pari a N1 o è strettamente più grande. Georg Cantor è stato il primo a proporre la questione se 1 è uguale a N1. Nel 1900, David Hilbert ha posto questa domanda come il primo dei suoi 23 problemi. L'affermazione che 1=N1 è ora chiamato l'ipotesi del continuo ed è conosciuto per essere indipendente dagli assiomi di Zermelo-Fraenkel nella teoria degli insiemi (compreso l'assioma di scelta).

Infine abbiamo capito che per dimostrare la non numerabilità dell'insieme R, nella teoria degli insiemi, l'argomento diagonale di Cantor, è chiamato anche l'argomento diagonalizzazione. L'argomento/diagonale o il metodo diagonale, è stato pubblicato nel 1891 da Georg Cantor come una dimostrazione matematica del fatto che ci sono insiemi infiniti che non possono essere messi in corrispondenza uno ad uno con l'insieme infinito dei numeri naturali. Tali gruppi sono ormai noti come insiemi non numerabili, e la dimensione degli insiemi infiniti sono ora trattati con la teoria dei numeri cardinali che Cantor ha cominciato.

Supponendo che l'esistenza di tale funzione una, per ogni uno. Prendiamo due numeri reali.
All'interno di questo intervallo chiuso possiamo trovare altri due numeri reali, diciamo y, in modo tale che essi soddisfino anche questo (analizzandone le possibili situazioni è facile rendersi conto di questo fatto). Per induzione, se abbiamo gli intervalli, possiamo scegliere altri due numeri reali e che soddisfino questo e quello.
D'altra parte, secondo il teorema degli intervalli incorporati, l'intersezione di tutti questi intervalli è diversa dal vuoto, cioè
tale che se questo corrispondesse ad un numero naturale, cioè se fosse uguale ad alcuni per alcuni, dovremmo; ma questo è impossibile a causa della costruzione degli intervalli precedenti, poiché come li abbiamo costruiti, dobbiamo, per tutto.
Pertanto abbiamo trovato un numero reale che non ha corrispondenza con i numeri naturali, cioè non è un'immagine di nessun numero naturale. Pertanto non è superettivo, quindi non può essere biiettivo, un fatto con cui si conclude la dimostrazione.

• Secondo il teorema degli intervalli incorporati, l'intersezione di tutti questi intervalli è diversa dal vuoto.

• Argomento diagonale di Cantor

• Come rappresentare graficamente gli insiemi