Come Dimostrare La Non Distorsione Della Media Campionaria

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tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La statistica è una disciplina che ha come fine lo studio quantitativo e qualitativo di un particolare fenomeno in condizioni di non determinismo o incertezza ovvero di non completa conoscenza di esso o parte di esso. Studia i modi (descritti attraverso formule matematiche) in cui una realtà fenomenica può essere sintetizzata e quindi compresa. La statistica studia come raccogliere i dati e come analizzarli per ottenere l'informazione che permetta di rispondere alle domande che ci poniamo. Si tratta di avanzare nella conoscenza partendo dall'osservazione e dall'analisi della realtà in modo intelligente e obiettivo. È l’essenza del metodo scientifico. L'Associazione nazionale statistici è l'associazione che in Italia ha lo scopo della tutela degli statistici e la divulgazione della cultura statistica. Spesso può capitare nello studio della statistica di dover dimostrare le correttezza (ed in particolare la non distorsione) di alcuni stimatori. Nella seguente guida, passo dopo passo, vedremo come dimostrare la non distorsione della media campionaria.

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Definiamo innanzi tutto quand'è che uno stimatore qualsiasi si dice non distorto: data la X~f (x;%u03B8) lo stimatore si dice non distorto se E (%u03B8)=%u03B8; uno stimatore si dice non distorto quando il valore atteso E (%u03B8) del parametro incognito %u03B8 è proprio uguale al parametro stesso, in poche parole quando la distorsione Dn [Dn=%u03B8-E (%u03B8)] è nulla.

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Per quanto riguarda lo stimatore della media la prima operazione da effettuare è la definizione della distribuzione della nostra popolazione campionaria: X~f (x, µ). La popolazione si distribuisce come una qualsiasi funzione con parametro incognito x e media µ. Successivamente bisogna definire lo stimatore della media campionaria: (indichiamo per comodità con µ* lo stimatore per la media) µ*=1/n (X1 X2... X (n-1) Xn). Infine non bisogna far altro che stabilire la media campionaria per ogni variabile casuale generica Xi appartenente alla popolazione: E (Xi)=µ.

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Adesso non ci resta che applicare le condizioni generali della non distorsione definite nel passo 1 allo stimatore per la media definito nel passo 2, quindi: E (µ*)=µ - E ([1/n (X1... Xn)]=µ. La media è un operatore lineare, possiamo quindi portare fuori dalla parentesi 1/nE (Xi)=µ. Poiché la media di una qualsiasi variabile casuale è proprio µ allora: 1/n (µ... µ)=µ - 1/n nµ=µ. A questo punto la numerosità campionaria (n) è presente sia al numeratore che al denominatore, si semplifica, e otteniamo: µ=µ

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